CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 4%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 14 年内每月月末存入 €50。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €502.4% / 12N = 168

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 8 年内每年年末产生 €8 500，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €8 500S = €7 500n = 8r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €4 000, €2 500。项目 B 需投入 €20 000，回报为 €5 000, €8 000, €11 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −20 000, 5 000, 8 000, 11 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 6%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 090，到期收益率为 7%（按年复利），麦考利久期为 8.8 年。如果收益率下降 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 090y = 7%D = 8.8Δy = −25 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 4.5%。税率为 28%。求 WACC。

E = €8 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_p = 7%r_d = 4.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €13.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 10%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：38, 13, 50, 20, 21, 43。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 475 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 25x = 475

P =

11.概率中等

袋中有 8 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 9

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.25, 0.25, 0.25Y = 3X + 20

σ_Y =

13.正态分布中等

X 服从均值 12 min、标准差 1.5 min 的正态分布；Y 独立，服从均值 20 min、标准差 2 min 的正态分布。求 X + Y 大于 30.8 min 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30.8 min

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 30 个个体的样本，均值为 62.5，标准差 s = 18.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 30x̄ = 62.5s = 18.590%t(29) = 1.699

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 38E = 499%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 96.4，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 96.4s = 12n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 1.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 11？

n = 6ŷ = 11

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 66667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.07 − 0.04) = 2 000/0.03 = €66 666.67

答案

PV = €66 666.67

2.货币的时间价值

答案: FV = 9972 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·14 = 168

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.399 − 1)/0.002 = €9 971.74

答案

FV = €9 971.74

你自己存入了 €8 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2898 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

8 500·5.747 = 48 846.43

残值的现值

7 500/1.851 = 4 052.02

NPV

NPV = −50 000 + 48 846.43 + 4 052.02 = €2 898.45

答案

NPV = €2 898.45

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 6.863 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 5 500 = −500

ΔCF₂ = 8 000 − 4 000 = 4 000

ΔCF₃ = 11 000 − 2 500 = 8 500

差额的 IRR

NPV_Δ(6%) = 225.05

NPV_Δ(7%) = −35.00

r* = 6.863%

答案

r* = 6.863%

校核：在 6.863% 时两个 NPV 都是 €698.04。

5.债券定价与收益率

答案: P = 748.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.03, N = 16

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6232)/0.03 = €125.61

面值的现值

€1 000·0.6232 = €623.17

价格

P = €748.78

答案

P = €748.78

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1112 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.8/1.07 = 8.224

估计的价格变化

%ΔP ≈ −8.224·(−0.0025) = 2.056%

P ≈ 1090·(1 + 0.02056) = €1 112.41

答案

P = €1 112.41

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.594 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 8 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €13 000 000

E/V = 0.6154, P_s/V = 0.1538, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.6154·11% + 0.1538·7% + 0.2308·4.5%·(1 − 0.28) = 8.594%

答案

WACC = 8.594%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.87 %

市场价值

E = 2 500 000·€13.50 = €33 750 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·6.5% = 11.95%

权重

V = €38 750 000, E/V = 0.871, D/V = 0.129

WACC

WACC = 0.871·11.95% + 0.129·4.5%·(1 − 0.21) = 10.87%

答案

WACC = 10.87%

9.描述统计

答案: s = 14.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 185/6 = 30.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7.167² + (−17.83)² + 19.17² + (−10.83)² + (−9.833)² + 12.17² = 1099

标准差

s = √(1099/5) = 14.82

答案

s = 14.82

10.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

答案

P = 0.1587

11.概率

答案: P = 0.2059

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0.2059

答案

P = 0.2059

12.概率

答案: σ_Y = 3.354

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1.5, Var(X) = 1.25, σ_X = 1.118

线性变换

σ_Y = |3|·1.118 = 3.354

答案

σ_Y = 3.354

均值确实会改变：E(Y) = 3·1.5 + 20 = 24.5。

13.正态分布

答案: P = 0.6844

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

标准化

z = (30.8 − 32)/2.5 = −0.48

上尾

P = 1 − Φ(−0.48) = 1 − 0.3156 = 0.6844

答案

P = 0.6844

14.正态分布

答案: x = 182.7 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm

答案

x = 182.7 cm

15.置信区间

答案: 上限 = 68.24

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 1.699

误差范围

E = 1.699·18.5/√30 = 5.739

区间

62.5 ± 5.739 → [56.76, 68.24]

答案

上限 = 68.24

16.置信区间

答案: n = 599

解出 n

n = (2.576·38/4)² = 598.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 599

答案

n = 599

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

检验统计量

t = (96.4 − 100)/2 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 271

解出 n

n = (1.645·15/1.5)² = 270.6

向上取整

n = 271

答案

n = 271

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9975

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 59/5 = 11.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 78.8

答案

r = 0.9975

20.线性回归与相关

答案: x = 2.991

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 155/6 = 25.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 259

回归直线

b = 259/70 = 3.7

a = 25.83 − 3.7·7 = −0.06667

ŷ = −0.06667 + 3.7·x

解出 x

x = (11 − (−0.06667))/3.7 = 2.991

答案

x = 2.991

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