CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €3 000，按季度复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0006% / 4n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 26 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5004.2% / 12N = 312

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €17 000, €14 000, €18 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 17 000CF₃ = 14 000CF₄ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 500, €16 000, €10 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 000CF₃ = 10 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 4%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 4 年后到期，售价为 €915。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 4P = €915

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.4。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 6%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.4r_e = 8%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 20%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.2D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.5T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：24, 53, 43, 49, 37, 51, 13。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 64.8 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 12x = 64.8

z =

11.概率中等

袋中有 3 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 3

P =

12.概率困难

一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.5k = 4

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0301。求 z，保留两位小数。

A = 0.0301

z =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 25%

x = g

15.置信区间中等

一个包含 25 个个体的样本，均值为 85.5，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 25x̄ = 85.5s = 4.590%t(24) = 1.711

E =

16.置信区间困难

25 根机加工轴的直径样本标准差为 7.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 7.7 µmχ² = 12.401, 39.364

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 505.3，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 505.3s = 20n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 140 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 96 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 140n₁ = 200x₂ = 96n₂ = 120

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3 时的 ŷ。

n = 5x = 3

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 5442 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/4 = 0.015

N = m·n = 4·10 = 40

终值

FV = 3 000·(1 + 0.015)⁴⁰ = 3 000·1.814 = €5 442.06

答案

FV = €5 442.06

2.货币的时间价值

答案: FV = 282079 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·26 = 312

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.975 − 1)/0.0035 = €282 078.86

答案

FV = €282 078.86

你自己存入了 €156 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2252 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 9 000/1.08 = 8 333.33

CF₂/(1 + 0.08)² = 17 000/1.166 = 14 574.76

CF₃/(1 + 0.08)³ = 14 000/1.26 = 11 113.65

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 18 000/1.36 = 13 230.54

相加

NPV = €2 252.28

答案

NPV = €2 252.28

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 35.86 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 269.01

NPV(40%) = −1 224.49

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·269.01/(269.01 − (−1 224.49)) = 35.9%

精确: NPV(35.86%) = 0 → IRR = 35.86%

答案

IRR = 35.86%

5.债券定价与收益率

答案: P = 910.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.02, N = 10

票息的现值

€10.00·(1 − 0.8203)/0.02 = €89.83

面值的现值

€1 000·0.8203 = €820.35

价格

P = €910.17

答案

P = €910.17

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.48 %

收益率方程

€915 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(6%) = €930.70, P(7%) = €898.38

YTM = 6.48%

答案

YTM = 6.48%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·8% + 0.2857·6%·(1 − 0.25) = 7%

答案

WACC = 7%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.2/(1 + 0.8·0.4) = 0.9091

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9091·(1 + 0.8·1.5) = 2

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 2·6% = 14%

答案

r_e = 14%

9.描述统计

答案: s = 15.05

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 270/7 = 38.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−14.57)² + 14.43² + 4.429² + 10.43² + (−1.571)² + 12.43² + (−25.57)² = 1360

标准差

s = √(1360/6) = 15.05

答案

s = 15.05

10.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (64.8 − 60)/12 = 0.4

答案

z = 0.4

11.概率

答案: P = 0.2

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2

答案

P = 0.2

12.概率

答案: P = 0.2734

二项分布公式

P(X = 4) = 70·0.5⁴·0.5⁴ = 70·0.0625·0.0625 = 0.2734

答案

P = 0.2734

13.正态分布

答案: z = 1.88

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0301 = 0.9699

反向查 z 表

在表中找到 0.9699，读出 z。

z = 1.88

答案

z = 1.88

14.正态分布

答案: x = 246.6 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 250 + −0.6745·5 = 246.63 g

答案

x = 246.63 g

15.置信区间

答案: E = 1.54

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 1.711

误差范围

E = 1.711·4.5/√25 = 1.54

答案

E = 1.54

16.置信区间

答案: σ = 6.012 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·7.7² = 1423

σ² 的限值

1423/39.364 = 36.15

1423/12.401 = 114.7

σ 的限值

σ = √36.15 = 6.012 µm

答案

σ = 6.012 µm

σ 的 95% 区间：[6.012, 10.71] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.385

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222

检验统计量

t = (505.3 − 500)/2.222 = 2.385

答案

t = 2.385

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: z = −1.968

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 140/200 = 0.7

p̂₂ = 96/120 = 0.8

p̂ = 236/320 = 0.7375

H₀ 下的标准误

SE = √(0.7375·0.2625·(1/200 + 1/120)) = 0.05081

检验统计量

z = (0.7 − 0.8)/0.05081 = −1.968

答案

z = −1.968

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9849

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 98/6 = 16.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 150

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 331.3

答案

r = 0.9849

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 5.55

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 48/5 = 9.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

回归直线

b = 54/40 = 1.35

a = 9.6 − 1.35·6 = 1.5

ŷ = 1.5 + 1.35·x

预测

ŷ = 1.5 + 1.35·3 = 5.55

答案

ŷ = 5.55

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