CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €20 000，按月复利。求 2 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0003% / 12n = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 3.6% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €350。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €3503.6% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€11 000, €15 000, €16 000, €15 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 11 000CF₂ = 15 000CF₃ = 16 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €23 500，之后每年增长 5%，直到第 7 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €23 500g = 5%n = 7r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 2.5%n = 10

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 5 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 8.9%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.2r_e = 8.9%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.5 下的贝塔为 1.1。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 20%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.5D/E₂ = 1T = 20%r_f = 2%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 25, 52, 14, 16, 57。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。求成绩 62.5 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 10x = 62.5

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 5 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 5

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.3, 0.35, 0.25Y = 3X + 5

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.6480。求 z，保留两位小数。

A = 0.6480

z =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

15.置信区间中等

一个包含 15 个个体的样本，均值为 86，标准差 s = 2.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 15x̄ = 86s = 2.590%t(14) = 1.761

下限 =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 86 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：7 块地，均值 88 kg，标准差 7.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 5x̄₁ = 86s₁ = 4.5n₂ = 7x̄₂ = 88s₂ = 7.590%t(10) = 1.812

上限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 120.3，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 120.3s = 4n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验；已知标准差为 9。实际上均值为 82.55。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 82.55σ = 9n = 36α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 11 时的 ŷ。

n = 6x = 11

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 21235 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·2 = 24

终值

FV = 20 000·(1 + 0.0025)²⁴ = 20 000·1.062 = €21 235.14

答案

FV = €21 235.14

2.货币的时间价值

答案: N = 24 次还款

将年金公式变形

i = 0.003

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.003/350 = 0.9314

用对数求解

N = −ln(0.9314)/ln(1.003) = 23.71

向上取整到整次还款

23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 24

答案

N = 24 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2886 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 11 000/1.07 = 10 280.37

CF₂/(1 + 0.07)² = 15 000/1.145 = 13 101.58

CF₃/(1 + 0.07)³ = 16 000/1.225 = 13 060.77

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 15 000/1.311 = 11 443.43

相加

NPV = €2 886.15

答案

NPV = €2 886.15

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −19371 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.1))⁷ = 0.7221

PV = 23 500/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.7221) = 130 629.45

NPV

NPV = 130 629.45 − 150 000 = −€19 370.55

答案

NPV = −€19 370.55

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 1220 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.0125, N = 20

票息的现值

€25.00·(1 − 0.78)/0.0125 = €439.98

面值的现值

€1 000·0.78 = €780.01

价格

P = €1 219.99

答案

P = €1 219.99

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.442 %

收益率方程

€940 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(6%) = €957.88, P(7%) = €918.00

YTM = 6.442%

答案

YTM = 6.442%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.9% − 3.5%)/1.2 = 4.5%

市场回报

r_m = 3.5% + 4.5% = 8%

答案

r_m = 8%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.9 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.1/(1 + 0.8·0.5) = 0.7857

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.7857·(1 + 0.8·1) = 1.414

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.414·7% = 11.9%

答案

r_e = 11.9%

9.描述统计

答案: s = 20.13

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 218/6 = 36.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 17.67² + (−11.33)² + 15.67² + (−22.33)² + (−20.33)² + 20.67² = 2025

标准差

s = √(2025/5) = 20.13

答案

s = 20.13

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (62.5 − 50)/10 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: P = 0.5981

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

答案

P = 0.5981

12.概率

答案: σ_Y = 2.826

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1.75, Var(X) = 0.8875, σ_X = 0.9421

线性变换

σ_Y = |3|·0.9421 = 2.826

答案

σ_Y = 2.826

均值确实会改变：E(Y) = 3·1.75 + 5 = 10.25。

13.正态分布

答案: z = −0.38

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.6480 = 0.3520

反向查 z 表

在表中找到 0.3520，读出 z。

z = −0.38

答案

z = −0.38

14.正态分布

答案: P = 0.9099

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

概率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答案

P = 0.9099

15.置信区间

答案: 下限 = 84.86

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 1.761

误差范围

E = 1.761·2.5/√15 = 1.137

区间

86 ± 1.137 → [84.86, 87.14]

答案

下限 = 84.86

16.置信区间

答案: 上限 = 4.864 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (4·4.5² + 6·7.5²)/10 = 41.85

s_p = 6.469

误差范围

E = 1.812·6.469·√(1/5 + 1/7) = 6.864

区间

−2 ± 6.864 → [−8.864, 4.864]

答案

上限 = 4.864 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = 0.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

检验统计量

t = (120.3 − 120)/0.5 = 0.6

答案

t = 0.6

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| < 1.998，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 66.2 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 9/√36 = 1.5

x̄_c = 80 + 1.282·1.5 = 81.92

真实均值下的 z

z = (81.92 − 82.55)/1.5 = −0.418

功率

功效 = P(Z > −0.418) = 66.2%

1 − β = 66.2%

答案

1 − β = 66.2%

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9771

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 101/5 = 20.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 70.8

答案

r = −0.9771

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 24.13

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 93/6 = 15.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 151

回归直线

b = 151/70 = 2.157

a = 15.5 − 2.157·7 = 0.4

ŷ = 0.4 + 2.157·x

预测

ŷ = 0.4 + 2.157·11 = 24.13

答案

ŷ = 24.13

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