CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 22%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 22%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 5.4%，按月复利。在第 2 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0005.4% / 12N = 240k = 24

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€10 000, €8 000, €6 000, €6 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 8 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €7 000, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 6 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 3.5%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5YTM = 5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 13%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €5 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 12 年），每张交易价格为 €871。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €5 000 000r_e = 11%债券: 2 000 × €871票面利率 = 4%n = 12T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 12, 46, 52, 44。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。求成绩 80 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 5x = 80

z =

11.概率中等

从 12 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 12k = 4

N =

12.概率困难

测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.7

P =

13.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量低于 188.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 16< 188.8 kg

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分5%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 46，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 7x̄ = 46s = 495%t(6) = 2.447

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 5。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 5E = 199%

n =

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 205.4，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 205.4s = 15n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 76.6。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 76.6σ = 20n = 10095%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 26.5 时的 ŷ。

n = 5x = 26.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 24.36 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.22/12 = 0.01833

复利一年

EAR = (1 + 0.01833)¹² − 1 = 1.244 − 1 = 24.36%

答案

EAR = 24.36%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: B = 188256 €

月供

i = 0.0045, N = 240

A = 200 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻²⁴⁰) = €1 364.50

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 24 = 216

B = 1365·(1 − (1 + 0.0045)⁻²¹⁶)/0.0045 = €188 255.51

答案

B = €188 255.51

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5808 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 10 000/1.07 = 9 345.79

CF₂/(1 + 0.07)² = 8 000/1.145 = 6 987.51

CF₃/(1 + 0.07)³ = 6 000/1.225 = 4 897.79

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 6 000/1.311 = 4 577.37

相加

NPV = €5 808.46

答案

NPV = €5 808.46

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.89 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 347.22

NPV(25%) = −240.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·347.22/(347.22 − (−240.00)) = 22.96%

精确: NPV(22.89%) = 0 → IRR = 22.89%

答案

IRR = 22.89%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1188 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0175, N = 12

票息的现值

€35.00·(1 − 0.8121)/0.0175 = €375.88

面值的现值

€1 000·0.8121 = €812.06

价格

P = €1 187.94

答案

P = €1 187.94

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.415 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 70/1.05 = 66.67, t·PV = 66.67

t = 2: 70/1.103 = 63.49, t·PV = 126.98

t = 3: 70/1.158 = 60.47, t·PV = 181.41

t = 4: 70/1.216 = 57.59, t·PV = 230.36

t = 5: 1070/1.276 = 838.37, t·PV = 4 191.86

久期

P = 1 086.59

D = 4 797.28/1 086.59 = 4.415

答案

D = 4.415 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.3 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·13% + 0.5·7%·(1 − 0.2) = 9.3%

答案

WACC = 9.3%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.152 %

债务成本 (YTM)

871 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 5.496%

市场价值

D = 2 000·€871 = €1 742 000

V = €6 742 000, E/V = 0.7416, D/V = 0.2584

WACC

WACC = 0.7416·11% + 0.2584·5.496%·(1 − 0.3) = 9.152%

答案

WACC = 9.152%

9.描述统计

答案: s = 15.94

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 185/5 = 37

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6)² + (−25)² + 9² + 15² + 7² = 1016

标准差

s = √(1016/4) = 15.94

答案

s = 15.94

10.描述统计

答案: z = 2

标准化

z = (80 − 70)/5 = 2

答案

z = 2

11.概率

答案: N = 495

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(12, 4) = (12·11·10·9)/(4·3·2·1) = 495

答案

N = 495

12.概率

答案: P = 0.01094

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3⁶ = 0.000729

P(X = 1) = 6·0.7·0.3⁵ = 0.01021

相加

P = 0.000729 + 0.01021 = 0.01094

答案

P = 0.01094

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 192 kg, σ_T = 0.8·√16 = 3.2 kg

标准化

z = (188.8 − 192)/3.2 = −1

概率

P = Φ(−1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: x = 75.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 分

答案

x = 75.4 分

15.置信区间

答案: 下限 = 42.3

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 2.447

误差范围

E = 2.447·4/√7 = 3.7

区间

46 ± 3.7 → [42.3, 49.7]

答案

下限 = 42.3

16.置信区间

答案: n = 166

解出 n

n = (2.576·5/1)² = 165.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 166

答案

n = 166

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.88

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

检验统计量

t = (205.4 − 200)/1.875 = 2.88

答案

t = 2.88

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 80.52

误差范围

E = 1.96·20/√100 = 3.92

区间端点

U = 76.6 + 3.92 = 80.52

答案

U = 80.52

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9566

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 313/6 = 52.17

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 384.8

答案

r = 0.9566

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 149

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 608/5 = 121.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 549

回归直线

b = 549/90 = 6.1

a = 121.6 − 6.1·22 = −12.6

ŷ = −12.6 + 6.1·x

预测

ŷ = −12.6 + 6.1·26.5 = 149

答案

ŷ = 149

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