CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 10 年内每月月末存入 €500。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5005.4% / 12N = 120

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €19 000, €10 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 19 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €3 500, €4 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 3 500CF₃ = 4 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 075。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 9P = €1 075

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 6%。税率为 25%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 500 000D = €2 000 000r_e = 9%r_p = 7.5%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 21%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 5.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1D/E₁ = 0.2D/E₂ = 1.5T = 21%r_f = 1%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：20, 34, 55, 57, 29。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 10。数值低于 180 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 10x = 180

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.3, 0.05, 0.3

σ =

12.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.4

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2148。求 z，保留两位小数。

A = 0.2148

z =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = 分

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：100 部手机，均值 49.5 h，已知标准差 20 h。型号 2：100 部手机，均值 57 h，已知标准差 5 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的下限。

n₁ = 100x̄₁ = 49.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 57 hσ₂ = 5 h95%

下限 = h

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 35.5 kg，标准差 5 kg。地块组 2：10 块地，均值 38.5 kg，标准差 6.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 7x̄₁ = 35.5s₁ = 5n₂ = 10x̄₂ = 38.5s₂ = 6.595%t(15) = 2.131

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 15。一个含 36 个观测值的随机样本均值为 247.95。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ < 250。求 p 值 p。

μ₀ = 250σ = 15n = 36x̄ = 247.95H₁: μ < μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 25。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 3σ = 25z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 4 时的 ŷ。

n = 5x = 4

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 23.36 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/365 = 0.0005753

复利一年

EAR = (1 + 0.0005753)³⁶⁵ − 1 = 1.234 − 1 = 23.36%

答案

EAR = 23.36%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 79325 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·10 = 120

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.714 − 1)/0.0045 = €79 325.49

答案

FV = €79 325.49

你自己存入了 €60 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5543 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 15 000/1.06 = 14 150.94

CF₂/(1 + 0.06)² = 19 000/1.124 = 16 909.93

CF₃/(1 + 0.06)³ = 10 000/1.191 = 8 396.19

相加

NPV = €−5 542.93

答案

NPV = €−5 542.93

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.71 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 818.93

NPV(15%) = −46.85

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·818.93/(818.93 − (−46.85)) = 14.73%

精确: NPV(14.71%) = 0 → IRR = 14.71%

答案

IRR = 14.71%

5.债券定价与收益率

答案: P = 964.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.025, N = 18

票息的现值

€22.50·(1 − 0.6412)/0.025 = €322.95

面值的现值

€1 000·0.6412 = €641.17

价格

P = €964.12

答案

P = €964.12

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.992 %

收益率方程

€1 075 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹

数值求解

P(3%) = €1 155.72, P(4%) = €1 074.35

YTM = 3.992%

答案

YTM = 3.992%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 500 000 + 2 000 000 = €7 500 000

E/V = 0.5333, P_s/V = 0.2, D/V = 0.2667

WACC

WACC = 0.5333·9% + 0.2·7.5% + 0.2667·6%·(1 − 0.25) = 7.5%

答案

WACC = 7.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.38 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1/(1 + 0.79·0.2) = 0.8636

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.8636·(1 + 0.79·1.5) = 1.887

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.887·5.5% = 11.38%

答案

r_e = 11.38%

9.描述统计

答案: s = 16.32

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 195/5 = 39

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−19)² + (−5)² + 16² + 18² + (−10)² = 1066

标准差

s = √(1066/4) = 16.32

答案

s = 16.32

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: σ = 1.532

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.25 + 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.05 + 4·0.3 = 2.05

平方的均值

E(X²) = 0·0.25 + 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6.55

方差

Var(X) = 6.55 − 2.05² = 2.348

σ = √2.348 = 1.532

答案

σ = 1.532

12.概率

答案: P = 0.1586

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6⁷ = 0.02799

P(X = 1) = 7·0.4·0.6⁶ = 0.1306

相加

P = 0.02799 + 0.1306 = 0.1586

答案

P = 0.1586

13.正态分布

答案: z = 0.79

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.2148 = 0.7852

反向查 z 表

在表中找到 0.7852，读出 z。

z = 0.79

答案

z = 0.79

14.正态分布

答案: x = 129.4 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 分

答案

x = 129.4 分

15.置信区间

答案: 下限 = −11.54 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 49.5 − 57 = −7.5

标准误

SE = √(20²/100 + 5²/100) = 2.062

误差范围

E = 1.96·2.062 = 4.041

区间

−7.5 ± 4.041 → [−11.54, −3.459]

答案

下限 = −11.54 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: E = 6.244 kg

合并标准差

s_p² = (6·5² + 9·6.5²)/15 = 35.35

s_p = 5.946

误差范围

E = 2.131·5.946·√(1/7 + 1/10) = 6.244

答案

E = 6.244 kg

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.2061

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 15/√36 = 2.5

z = (247.95 − 250)/2.5 = −0.82

尾部面积

Φ(0.82) = 0.7939

1 − Φ(0.82) = 0.2061

p 值

p = 0.2061

答案

p = 0.2061

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 697

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·25/3)² = 697

向上取整

n = 697

答案

n = 697

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9934

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 129/6 = 21.5

ȳ = 406/6 = 67.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 462

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1373

答案

r = 0.9934

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 59.2

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 319/5 = 63.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

回归直线

b = 184/40 = 4.6

a = 63.8 − 4.6·5 = 40.8

ŷ = 40.8 + 4.6·x

预测

ŷ = 40.8 + 4.6·4 = 59.2

答案

ŷ = 59.2

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