CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €10 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0004% / 12n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €50。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €507.2% / 12N = 72

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€6 000, €10 000, €8 000, €4 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 10 000CF₃ = 8 000CF₄ = 4 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 000, €14 500, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 14 500CF₃ = 18 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，12 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 5.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 12y₁ = 3.5%y₂ = 5.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €972。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 3P = €972

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 4%，税率为 28%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €4 000 000r_e = 13%r_d = 4%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1.1。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 30%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.25D/E₂ = 0.6T = 30%r_f = 1%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：32, 48, 57, 53, 36, 35。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值高于 62.5 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 5x = 62.5

P =

11.概率中等

从 7 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 7k = 3

N =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.1 赢得 €50，以概率 0.01 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€50: p = 0.1€200: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 85 和 127.75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 85x₂ = 127.75

P =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 95.5，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 7x̄ = 95.5s = 299%t(6) = 3.707

上限 =

16.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.02？

p = 0.5E = 0.0290%

n =

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 75.76，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 75.76s = 4n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 8。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 95%δ = 4σ = 8z_α = 1.645z_β = 1.645

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 28.5 时的 ŷ。

n = 5x = 28.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 8524 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.173 = €8 523.71

答案

PV = €8 523.71

2.货币的时间价值

答案: FV = 4486 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.538 − 1)/0.006 = €4 486.23

答案

FV = €4 486.23

你自己存入了 €3 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4986 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 6 000/1.05 = 5 714.29

CF₂/(1 + 0.05)² = 10 000/1.103 = 9 070.29

CF₃/(1 + 0.05)³ = 8 000/1.158 = 6 910.70

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 4 000/1.216 = 3 290.81

相加

NPV = €4 986.09

答案

NPV = €4 986.09

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 43.98 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 1 282.80

NPV(45%) = −311.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·1 282.80/(1 282.80 − (−311.00)) = 44.02%

精确: NPV(43.98%) = 0 → IRR = 43.98%

答案

IRR = 43.98%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −219.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.035, N = 12

€80.00·(1 − 0.6618)/0.035 + €1 000·0.6618 = €773.07 + €661.78 = €1 434.85

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.055, N = 12

€80.00·(1 − 0.526)/0.055 + €1 000·0.526 = €689.48 + €525.98 = €1 215.46

变化

ΔP = 1 215.46 − 1 434.85 = −€219.39

答案

ΔP = −€219.39

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4 %

每期

C = €15.00, N = 6

数值求解

i = 2% 每半年

YTM

YTM = 2·2% = 4%

答案

YTM = 4%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.502 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·13% + 0.4444·4%·(1 − 0.28) = 8.502%

答案

WACC = 8.502%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 6.317 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.1/(1 + 0.7·0.25) = 0.9362

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9362·(1 + 0.7·0.6) = 1.329

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.329·4% = 6.317%

答案

r_e = 6.317%

9.描述统计

答案: s = 10.52

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 261/6 = 43.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−11.5)² + 4.5² + 13.5² + 9.5² + (−7.5)² + (−8.5)² = 553.5

标准差

s = √(553.5/5) = 10.52

答案

s = 10.52

10.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

11.概率

答案: N = 35

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

答案

N = 35

12.概率

答案: E(G) = −3 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 40 (p = 0.1), 190 (p = 0.01), −10 (p = 0.89)

期望值

E(G) = 40·0.1 + 190·0.01 − 10·0.89 = −3 €

答案

E(G) = −3 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.8092

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (85 − 100)/15 = −1

z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−1) = 0.9678 − 0.1587 = 0.8092

答案

P = 0.8092

14.正态分布

答案: x = 245.8 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

答案

x = 245.79 g

15.置信区间

答案: 上限 = 98.3

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 3.707

误差范围

E = 3.707·2/√7 = 2.802

区间

95.5 ± 2.802 → [92.7, 98.3]

答案

上限 = 98.3

16.置信区间

答案: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691

向上取整

n = 1692

答案

n = 1692

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.71

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√81 = 4/9 = 0.4444

检验统计量

t = (75.76 − 75)/0.4444 = 1.71

答案

t = 1.71

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 44

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.645)·8/4)² = 43.3

向上取整

n = 44

答案

n = 44

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9924

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 97/5 = 19.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 285.2

答案

r = 0.9924

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 84.3

均值

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 345/5 = 69

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306

回归直线

b = 306/90 = 3.4

a = 69 − 3.4·24 = −12.6

ŷ = −12.6 + 3.4·x

预测

ŷ = −12.6 + 3.4·28.5 = 84.3

答案

ŷ = 84.3

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income