CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €3 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0004.8% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 20 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 20 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 7%n = 20

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€12 000, €10 000, €12 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 000CF₃ = 12 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €12 000, €14 500, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 14 500CF₃ = 7 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 5 年后到期，每年付息。到期收益率为 5.5% 时其售价为 €1 107。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 5P = €1 107YTM = 5.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3YTM = 5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.2 的股票要求回报为 8.9%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.2r_e = 8.9%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司有 4 000 000 股股票，股价为 €59.50；其股权账面价值为 €71 400 000。公司刚支付了每股 €3.00 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €71 400 000，税前成本为 4%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 4 000 000P₀ = €59.50股权账面价值 = €71 400 000D₀ = €3.00g = 2%D = €71 400 000r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 25, 52, 60, 10。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。求成绩 470 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 25x = 470

z =

11.概率中等

从 7 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 7k = 3

N =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.05, 0.35, 0.3Y = −2X − 3

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9534。求 z，保留两位小数。

A = 0.9534

z =

14.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

15.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 32，标准差 s = 10.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 16x̄ = 32s = 10.595%t(15) = 2.131

上限 =

16.置信区间困难

11 根机加工轴的直径样本标准差为 8.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。

n = 11s = 8.8 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 87 mm，该生产线的已知标准差为 7 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 89.6 mm，已知标准差为 15 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 87 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 60x̄₂ = 89.6 mmσ₂ = 15 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ < 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 47。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 47σ = 5n = 25α = 0.01

β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 20Σy = 296Σx² = 90Σy² = 17690Σxy = 1217

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 5x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 4401 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 3 000·(1 + 0.004)⁹⁶ = 3 000·1.467 = €4 401.06

答案

FV = €4 401.06

2.货币的时间价值

答案: FV = 219326 €

普通年金系数

((1 + 0.07)²⁰ − 1)/0.07 = 41

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·41·1.07 = €219 325.88

答案

FV = €219 325.88

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2772 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 12 000/1.12 = 10 714.29

CF₂/(1 + 0.12)² = 10 000/1.254 = 7 971.94

CF₃/(1 + 0.12)³ = 12 000/1.405 = 8 541.36

相加

NPV = €−2 772.41

答案

NPV = €−2 772.41

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 34.58 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 1 224.40

NPV(35%) = −106.69

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·1 224.40/(1 224.40 − (−106.69)) = 34.6%

精确: NPV(34.58%) = 0 → IRR = 34.58%

答案

IRR = 34.58%

5.债券定价与收益率

答案: c = 8.006 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.055)⁻⁵ = €765.13

票息

C = (1107 − 765.13)/4.27 = €80.06

票面利率

c = 80.06/1000 = 8.006%

答案

c = 8.006%

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.792 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 80/1.05 = 76.19, t·PV = 76.19

t = 2: 80/1.103 = 72.56, t·PV = 145.12

t = 3: 1080/1.158 = 932.94, t·PV = 2 798.83

久期

P = 1 081.70

D = 3 020.15/1 081.70 = 2.792

答案

D = 2.792 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.9% − 3.5%)/1.2 = 4.5%

市场回报

r_m = 3.5% + 4.5% = 8%

答案

r_m = 8%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.179 %

股权成本

D₁ = 3·1.02 = €3.06

r_e = 3.06/59.5 + 0.02 = 7.143%

市场价值

E = 4 000 000·€59.50 = €238 000 000

V = €309 400 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·7.143% + 0.2308·4%·(1 − 0.258) = 6.179%

答案

WACC = 6.179%

9.描述统计

答案: s = 21.15

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 198/5 = 39.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 11.4² + (−14.6)² + 12.4² + 20.4² + (−29.6)² = 1789

标准差

s = √(1789/4) = 21.15

答案

s = 21.15

10.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (470 − 500)/25 = −1.2

答案

z = −1.2

11.概率

答案: N = 35

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

答案

N = 35

12.概率

答案: σ_Y = 2.39

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1.65, Var(X) = 1.427, σ_X = 1.195

线性变换

σ_Y = |−2|·1.195 = 2.39

答案

σ_Y = 2.39

均值确实会改变：E(Y) = −2·1.65 − 3 = −6.3。

13.正态分布

答案: z = 1.99

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9534)/2 = 0.9767

反向查 z 表

在表中找到 0.9767，读出 z。

z = 1.99

答案

z = 1.99

14.正态分布

答案: x = 36.05 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

答案

x = 36.05 min

15.置信区间

答案: 上限 = 37.59

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.131

误差范围

E = 2.131·10.5/√16 = 5.594

区间

32 ± 5.594 → [26.41, 37.59]

答案

上限 = 37.59

16.置信区间

答案: σ = 6.149 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 10·8.8² = 774.4

σ² 的限值

774.4/20.483 = 37.81

774.4/3.247 = 238.5

σ 的限值

σ = √37.81 = 6.149 µm

答案

σ = 6.149 µm

σ 的 95% 区间：[6.149, 15.44] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: z = −1.121

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(7²/30 + 15²/60) = √5.383 = 2.32

检验统计量

z = (87 − 89.6)/2.32 = −1.121

答案

z = −1.121

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: β = 25.02 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 50 − 2.326·1 = 47.67

真实均值下的 z

z = (47.67 − 47)/1 = 0.674

第二类错误

功效 = P(Z < 0.674) = 74.98%

β = 100% − 74.98% = 25.02%

答案

β = 25.02%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.808

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1217 − 20·296/5 = 33

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 17690 − 296²/5 = 166.8

答案

r = 0.808

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 68.8

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 389/5 = 77.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

回归直线

b = 60/10 = 6

a = 77.8 − 6·5 = 47.8

ŷ = 47.8 + 6·x

预测

ŷ = 47.8 + 6·3.5 = 68.8

答案

ŷ = 68.8

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