货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €8 000，共 10 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。
A = €8 000i = 8%n = 10
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 2.4% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €725。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €25 000A = €7252.4% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €40 000，在 4 年内每年年末回报 €13 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 6%CF0 = −40 000CF1 = 13 500CF2 = 13 500CF3 = 13 500CF4 = 13 500
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €10 500，之后每年增长 4%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF1 = €10 500g = 4%n = 9r = 10%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 3%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 3%n = 11
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 10 年后到期，售价为 €920。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 10P = €920
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 6%，税率为 25%。求 WACC。
E = €3 000 000D = €4 000 000re = 10%rd = 6%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €23.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。
β = 0.9rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 6%T = 25.8%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：15, 18, 19, 46, 14, 12。
n = 6
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值低于 192.5 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 15x = 192.5
P =
11.概率中等
袋中有 4 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？
4 / 4
P =
12.概率困难
测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.2 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 8p = 0.2
P =
13.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0401。求 z，保留两位小数。
A = 0.0401
z =
14.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
15.置信区间中等
比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 92 h，已知标准差 18 h。型号 2：30 部手机，均值 93 h，已知标准差 5 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。
n₁ = 30x̄₁ = 92 hσ₁ = 18 hn₂ = 30x̄₂ = 93 hσ₂ = 5 h90%
下限 = h
16.置信区间困难
总体标准差为 17。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 17E = 499%
n =
17.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 86，标准差 2.5。第 2 组：7 名学生，平均分 84.1，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 10x̄₁ = 86s₁ = 2.5n₂ = 7x̄₂ = 84.1s₂ = 4
t =
18.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.10 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 15。实际上均值为 194。 求第二类错误的概率 β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 194σ = 15n = 36α = 0.10
β = %
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 21Σy = 149Σx² = 91Σy² = 3769Σxy = 487
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (2.5, 59)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 5(2.5, 59)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 53681 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.4632)/0.08 = 6.71
现值
PV = 8 000·6.71 = €53 680.65
答案
PV = €53 680.65
2.货币的时间价值
答案: N = 36 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.002/725 = 0.931
用对数求解
N = −ln(0.931)/ln(1.002) = 35.77
向上取整到整次还款
35 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 36
答案
N = 36 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.366 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 13 500/1.06 = 12 735.85 → Σ = 12 735.85
年份 2: 13 500/1.124 = 12 014.95 → Σ = 24 750.80
年份 3: 13 500/1.191 = 11 334.86 → Σ = 36 085.66
年份 4: 13 500/1.262 = 10 693.26 → Σ = 46 778.93
最后一年的分数
DPB = 3 + 3 914.34/10 693.26 = 3.366
答案
DPB = 3.366 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.963 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −10634 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.04)/(1.1))9 = 0.6036
PV = 10 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.6036) = 69 365.95
NPV
NPV = 69 365.95 − 80 000 = −€10 634.05
答案
NPV = −€10 634.05
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: P = 1186 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €25.00, i = 0.015, N = 22
票息的现值
€25.00·(1 − 0.7207)/0.015 = €465.52
面值的现值
€1 000·0.7207 = €720.69
价格
P = €1 186.21
答案
P = €1 186.21
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.986 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€920 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(3%) = €1 000.00, P(4%) = €918.89
YTM = 3.986%
答案
YTM = 3.986%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.857 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €7 000 000, E/V = 0.4286, D/V = 0.5714
WACC
WACC = 0.4286·10% + 0.5714·6%·(1 − 0.25) = 6.857%
答案
WACC = 6.857%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.242 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€23.50 = €117 500 000
D = 20 000·€1 020 = €20 400 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 0.9·6% = 8.9%
权重
V = €137 900 000, E/V = 0.8521, D/V = 0.1479
WACC
WACC = 0.8521·8.9% + 0.1479·6%·(1 − 0.258) = 8.242%
答案
WACC = 8.242%
9.描述统计
答案: s = 12.68
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 124/6 = 20.67
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−5.667)² + (−2.667)² + (−1.667)² + 25.33² + (−6.667)² + (−8.667)² = 803.3
标准差
s = √(803.3/5) = 12.68
答案
s = 12.68
10.描述统计
答案: P = 0.9332
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1.5
标准正态分布表
Φ(1.5) = 0.9332
P = 0.9332
答案
P = 0.9332
11.概率
答案: P = 0.2143
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
第一次和第二次摸球
P = 4/8 · 3/7 = 12/56 = 0.2143
答案
P = 0.2143
12.概率
答案: P = 0.5033
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.88 = 0.1678
P(X = 1) = 8·0.2·0.87 = 0.3355
相加
P = 0.1678 + 0.3355 = 0.5033
答案
P = 0.5033
13.正态分布
答案: z = 1.75
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0401 = 0.9599
反向查 z 表
在表中找到 0.9599，读出 z。
z = 1.75
答案
z = 1.75
14.正态分布
答案: x = 182.7 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm
答案
x = 182.72 cm
15.置信区间
答案: 下限 = −6.611 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
点估计
x̄₁ − x̄₂ = 92 − 93 = −1
标准误
SE = √(18²/30 + 5²/30) = 3.411
误差范围
E = 1.645·3.411 = 5.611
区间
−1 ± 5.611 → [−6.611, 4.611]
答案
下限 = −6.611 h
区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。
16.置信区间
答案: n = 120
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·17/4)² = 119.9
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 120
答案
n = 120
17.假设检验与置信区间
答案: t = 1.21
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (9·2.5² + 6·4²)/15 = 10.15
sp = 3.186
标准误
SE = 3.186·√(1/10 + 1/7) = 1.57
检验统计量
t = (86 − 84.1)/1.57 = 1.21
答案
t = 1.21
df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。
18.假设检验与置信区间
答案: β = 13.18 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 15/√36 = 2.5
x̄c = 200 − 1.282·2.5 = 196.8
真实均值下的 z
z = (196.8 − 194)/2.5 = 1.118
第二类错误
功效 = P(Z < 1.118) = 86.82%
β = 100% − 86.82% = 13.18%
答案
β = 13.18%
19.线性回归与相关
答案: r = −0.994
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 487 − 21·149/6 = −34.5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17.5
Syy = 3769 − 149²/6 = 68.83
相关系数
r = −34.5/√(17.5·68.83) = −0.994
答案
r = −0.994
20.线性回归与相关
答案: e = −4.65
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 364/5 = 72.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61
回归直线
b = 61/10 = 6.1
a = 72.8 − 6.1·4 = 48.4
ŷ = 48.4 + 6.1·x
预测值
ŷ = 48.4 + 6.1·2.5 = 63.65
残差
e = 59 − 63.65 = −4.65
答案
e = −4.65
该点位于直线下方。
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