CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 4 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0003% / 12N = 300k = 48

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在 4 年内每年年末回报 €21 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 21 000CF₃ = 21 000CF₄ = 21 000

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €11 000, €14 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 000CF₃ = 14 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 3%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 3 年后到期，售价为 €975。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 3P = €975

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 8.75%。无风险利率为 2.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 8.75%r_f = 2.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €56.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 1%，市场回报率为 5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 1%r_m = 5%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：38, 11, 27, 58, 49, 57。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。数值低于 36 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 12x = 36

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

σ =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.2 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€10: p = 0.2€50: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 23.3 和 41 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 23.3x₂ = 41

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分95%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 10 个个体的样本，均值为 49.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 10x̄ = 49.5s = 19.595%t(9) = 2.262

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 35E = 595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 114.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 114.8s = 12n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 13。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 1.5σ = 13z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 21？

n = 5ŷ = 21

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 20.45 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/2 = 0.0975

复利一年

EAR = (1 + 0.0975)² − 1 = 1.205 − 1 = 20.45%

答案

EAR = 20.45%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: B = 221452 €

月供

i = 0.0025, N = 300

A = 250 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻³⁰⁰) = €1 185.53

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 48 = 252

B = 1186·(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁵²)/0.0025 = €221 451.62

答案

B = €221 451.62

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.232 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 21 000/1.06 = 19 811.32 → Σ = 19 811.32

年份 2: 21 000/1.124 = 18 689.93 → Σ = 38 501.25

年份 3: 21 000/1.191 = 17 632.00 → Σ = 56 133.25

年份 4: 21 000/1.262 = 16 633.97 → Σ = 72 767.22

最后一年的分数

DPB = 3 + 3 866.75/16 633.97 = 3.232

答案

DPB = 3.232 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 35.89 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 244.37

NPV(40%) = −1 071.43

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·244.37/(244.37 − (−1 071.43)) = 35.93%

精确: NPV(35.89%) = 0 → IRR = 35.89%

答案

IRR = 35.89%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1043 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.015, N = 6

票息的现值

€22.50·(1 − 0.9145)/0.015 = €128.19

面值的现值

€1 000·0.9145 = €914.54

价格

P = €1 042.73

答案

P = €1 042.73

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.952 %

收益率方程

€975 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(6%) = €1 000.00, P(7%) = €973.76

YTM = 6.952%

答案

YTM = 6.952%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.75% − 2.5%)/1.25 = 5%

市场回报

r_m = 2.5% + 5% = 7.5%

答案

r_m = 7.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.088 %

市场价值

E = 2 000 000·€56.50 = €113 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.3·4% = 6.2%

权重

V = €122 800 000, E/V = 0.9202, D/V = 0.0798

WACC

WACC = 0.9202·6.2% + 0.0798·6%·(1 − 0.2) = 6.088%

答案

WACC = 6.088%

9.描述统计

答案: s = 18.48

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 240/6 = 40

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−29)² + (−13)² + 18² + 9² + 17² = 1708

标准差

s = √(1708/5) = 18.48

答案

s = 18.48

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: σ = 0.8367

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

方差

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

σ = √0.7 = 0.8367

答案

σ = 0.8367

12.概率

答案: E(G) = −2 €

净结果

G: 5 (p = 0.2), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.78)

期望值

E(G) = 5·0.2 + 45·0.02 − 5·0.78 = −2 €

答案

E(G) = −2 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.8597

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (23.3 − 32)/6 = −1.45

z₂ = (41 − 32)/6 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−1.45) = 0.9332 − 0.07353 = 0.8597

答案

P = 0.8597

14.正态分布

答案: x = 75.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 100 − 1.64·15 = 75.4 分

答案

x = 75.4 分

15.置信区间

答案: E = 13.95

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 2.262

误差范围

E = 2.262·19.5/√10 = 13.95

答案

E = 13.95

16.置信区间

答案: n = 189

解出 n

n = (1.96·35/5)² = 188.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 189

答案

n = 189

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

检验统计量

t = (114.8 − 120)/2 = −2.6

答案

t = −2.6

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 465

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·13/1.5)² = 464.6

向上取整

n = 465

答案

n = 465

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9843

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 456/6 = 76

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 374

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2030

决定系数

r² = 374²/(70·2030) = 0.9843

答案

r² = 0.9843

y 的变异中约有 98.43% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 3.64

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 113/5 = 22.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

回归直线

b = −25/10 = −2.5

a = 22.6 − (−2.5)·3 = 30.1

ŷ = 30.1 − 2.5·x

解出 x

x = (21 − 30.1)/(−2.5) = 3.64

答案

x = 3.64

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