CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 17 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 4%n = 17

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0005.4% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€13 000, €12 000, €9 000, €15 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −30 000CF₁ = 13 000CF₂ = 12 000CF₃ = 9 000CF₄ = 15 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €23 500, €32 000, €36 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 23 500CF₂ = 32 000CF₃ = 36 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 4%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 10 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10P = €935

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 13%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €40.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：58, 38, 39, 43, 27, 18。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。求成绩 537.5 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 25x = 537.5

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 6

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €8，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€8: p = 0.1€20: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55.5 和 75.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 55.5x₂ = 75.5

P =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 5%

x = g

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 87 h，已知标准差 16 h。型号 2：80 部手机，均值 74.5 h，已知标准差 9 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 30x̄₁ = 87 hσ₁ = 16 hn₂ = 80x̄₂ = 74.5 hσ₂ = 9 h90%

下限 = h

16.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.04？

p = 0.5E = 0.0490%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 115.5，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 115.5s = 12n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 5。求最小样本量 n。

σ = 5E = 2.599%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 35Σy = 269Σx² = 285Σy² = 15025Σxy = 2029

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (25.5, 95)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(25.5, 95)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 97325 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5134)/0.04 = 12.17

现值

PV = 8 000·12.17 = €97 325.35

答案

PV = €97 325.35

2.货币的时间价值

答案: A = 476.4 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7638

A = 25 000·0.0045/(1 − 0.7638) = €476.38

答案

A = €476.38

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 13380 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 13 000/1.05 = 12 380.95

CF₂/(1 + 0.05)² = 12 000/1.103 = 10 884.35

CF₃/(1 + 0.05)³ = 9 000/1.158 = 7 774.54

CF₄/(1 + 0.05)⁴ = 15 000/1.216 = 12 340.54

相加

NPV = €13 380.38

答案

NPV = €13 380.38

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 34.44 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 3 397.82

NPV(35%) = −402.38

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·3 397.82/(3 397.82 − (−402.38)) = 34.47%

精确: NPV(34.44%) = 0 → IRR = 34.44%

答案

IRR = 34.44%

5.债券定价与收益率

答案: P = 911.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.02, N = 22

票息的现值

€15.00·(1 − 0.6468)/0.02 = €264.87

面值的现值

€1 000·0.6468 = €646.84

价格

P = €911.71

答案

P = €911.71

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.013 %

收益率方程

€935 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(9%) = €935.82, P(10%) = €877.11

YTM = 9.013%

答案

YTM = 9.013%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.87 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·13% + 0.2·3%·(1 − 0.21) = 10.87%

答案

WACC = 10.87%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.196 %

市场价值

E = 2 000 000·€40.50 = €81 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.8·6.5% = 7.7%

权重

V = €102 000 000, E/V = 0.7941, D/V = 0.2059

WACC

WACC = 0.7941·7.7% + 0.2059·7%·(1 − 0.25) = 7.196%

答案

WACC = 7.196%

9.描述统计

答案: s = 13.73

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 223/6 = 37.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = 20.83² + 0.8333² + 1.833² + 5.833² + (−10.17)² + (−19.17)² = 942.8

标准差

s = √(942.8/5) = 13.73

答案

s = 13.73

10.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (537.5 − 500)/25 = 1.5

答案

z = 1.5

11.概率

答案: P = 0.6651

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

答案

P = 0.6651

12.概率

答案: E(G) = −0.8 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.1), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)

期望值

E(G) = 6·0.1 + 18·0.02 − 2·0.88 = −0.8 €

答案

E(G) = −0.8 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.6821

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95

z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−0.95) = 0.8531 − 0.1711 = 0.6821

答案

P = 0.6821

14.正态分布

答案: x = 241.8 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 250 + −1.645·5 = 241.78 g

答案

x = 241.78 g

15.置信区间

答案: 下限 = 7.418 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 87 − 74.5 = 12.5

标准误

SE = √(16²/30 + 9²/80) = 3.09

误差范围

E = 1.645·3.09 = 5.082

区间

12.5 ± 5.082 → [7.418, 17.58]

答案

下限 = 7.418 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.04² = 422.8

向上取整

n = 423

答案

n = 423

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.625

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

检验统计量

t = (115.5 − 120)/1.714 = −2.625

答案

t = −2.625

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 27

解出 n

n = (2.576·5/2.5)² = 26.54

向上取整

n = 27

答案

n = 27

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9818

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2029 − 35·269/5 = 146

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 15025 − 269²/5 = 552.8

答案

r = 0.9818

20.线性回归与相关

答案: e = −4.95

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 409/5 = 81.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 363

回归直线

b = 363/90 = 4.033

a = 81.8 − 4.033·21 = −2.9

ŷ = −2.9 + 4.033·x

预测值

ŷ = −2.9 + 4.033·25.5 = 99.95

残差

e = 95 − 99.95 = −4.95

答案

e = −4.95

该点位于直线下方。

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