CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €8 000，按季度复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0005% / 4n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 21 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0004.8% / 12N = 360k = 252

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€21 000, €21 000, €11 000, €18 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 21 000CF₂ = 21 000CF₃ = 11 000CF₄ = 18 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €37 500, €34 000, €19 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 37 500CF₂ = 34 000CF₃ = 19 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 8%n = 12

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 8 年后到期，售价为 €885。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 8P = €885

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 13%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €53.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 3%r_m = 7%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：19, 49, 57, 59, 57, 23, 46。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。数值低于 124 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 12x = 124

P =

11.概率中等

袋中有 4 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

4 / 3

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.3Y = 5X + 4

σ_Y =

13.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 26 和 33.5 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 26x₂ = 33.5

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 51.5 h，已知标准差 4 h。型号 2：50 部手机，均值 64 h，已知标准差 7 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 80x̄₁ = 51.5 hσ₁ = 4 hn₂ = 50x̄₂ = 64 hσ₂ = 7 h99%

E = h

16.置信区间困难

总体标准差为 37。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 37E = 190%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 129，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 129s = 15n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 3σ = 15z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4, 32)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4, 32)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13149 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·10 = 40

终值

FV = 8 000·(1 + 0.0125)⁴⁰ = 8 000·1.644 = €13 148.96

答案

FV = €13 148.96

2.货币的时间价值

答案: B = 114846 €

月供

i = 0.004, N = 360

A = 250 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁶⁰) = €1 311.66

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 252 = 108

B = 1312·(1 − (1 + 0.004)⁻¹⁰⁸)/0.004 = €114 846.28

答案

B = €114 846.28

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 13187 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 21 000/1.09 = 19 266.06

CF₂/(1 + 0.09)² = 21 000/1.188 = 17 675.28

CF₃/(1 + 0.09)³ = 11 000/1.295 = 8 494.02

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 18 000/1.412 = 12 751.65

相加

NPV = €13 187.01

答案

NPV = €13 187.01

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 42.14 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 1 239.07

NPV(45%) = −1 570.38

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·1 239.07/(1 239.07 − (−1 570.38)) = 42.21%

精确: NPV(42.14%) = 0 → IRR = 42.14%

答案

IRR = 42.14%

5.债券定价与收益率

答案: P = 771.3 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.04, N = 24

票息的现值

€25.00·(1 − 0.3901)/0.04 = €381.17

面值的现值

€1 000·0.3901 = €390.12

价格

P = €771.30

答案

P = €771.30

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.001 %

收益率方程

€885 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(8%) = €885.07, P(9%) = €833.96

YTM = 8.001%

答案

YTM = 8.001%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.917 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·13% + 0.3333·5%·(1 − 0.25) = 9.917%

答案

WACC = 9.917%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.669 %

市场价值

E = 2 000 000·€53.00 = €106 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.2·4% = 7.8%

权重

V = €111 000 000, E/V = 0.955, D/V = 0.04505

WACC

WACC = 0.955·7.8% + 0.04505·7%·(1 − 0.3) = 7.669%

答案

WACC = 7.669%

9.描述统计

答案: s = 16.62

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 310/7 = 44.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−25.29)² + 4.714² + 12.71² + 14.71² + 12.71² + (−21.29)² + 1.714² = 1657

标准差

s = √(1657/6) = 16.62

答案

s = 16.62

10.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答案

P = 0.9772

11.概率

答案: P = 0.2857

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 4/7 · 3/6 = 12/42 = 0.2857

答案

P = 0.2857

12.概率

答案: σ_Y = 11.61

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.9, Var(X) = 5.39, σ_X = 2.322

线性变换

σ_Y = |5|·2.322 = 11.61

答案

σ_Y = 11.61

均值确实会改变：E(Y) = 5·2.9 + 4 = 18.5。

13.正态分布

答案: P = 0.4401

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (26 − 32)/6 = −1

z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−1) = 0.5987 − 0.1587 = 0.4401

答案

P = 0.4401

14.正态分布

答案: P = 0.9099

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

概率

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

答案

P = 0.9099

15.置信区间

答案: E = 2.798 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 51.5 − 64 = −12.5

标准误

SE = √(4²/80 + 7²/50) = 1.086

误差范围

E = 2.576·1.086 = 2.798

答案

E = 2.798 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

16.置信区间

答案: n = 3705

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·37/1)² = 3705

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3705

答案

n = 3705

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

检验统计量

t = (129 − 120)/3.75 = 2.4

答案

t = 2.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 326

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·15/3)² = 325.4

向上取整

n = 326

答案

n = 326

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9274

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 167/5 = 33.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 491.2

答案

r = 0.9274

20.线性回归与相关

答案: e = −4.45

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 234/5 = 46.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 138

回归直线

b = 138/40 = 3.45

a = 46.8 − 3.45·7 = 22.65

ŷ = 22.65 + 3.45·x

预测值

ŷ = 22.65 + 3.45·4 = 36.45

残差

e = 32 − 36.45 = −4.45

答案

e = −4.45

该点位于直线下方。

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