CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €10 000。求 9 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 6%t = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 24 年内每月月末存入 €500。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5007.2% / 12N = 288

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €9 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 3%r = 11%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €7 500, €11 500, €6 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 11 500CF₃ = 6 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，11 年后到期。其到期收益率从 8% 变为 10%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 11y₁ = 8%y₂ = 10%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €945。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €945

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €4 000 000r_e = 11%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €11.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 3.5%r_m = 8.5%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：45, 46, 25, 46, 22, 41, 38。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 54 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 54

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 10。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 2X + 10

σ_Y =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 57.5 和 75.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 57.5x₂ = 75.5

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 20%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 107，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 6x̄ = 107s = 16.595%t(5) = 2.571

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 6。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 6E = 299%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：8 名学生，平均分 27.5，标准差 5.5。第 2 组：13 名学生，平均分 38.9，标准差 11。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 8x̄₁ = 27.5s₁ = 5.5n₂ = 13x̄₂ = 38.9s₂ = 11

t =

18.假设检验与置信区间困难

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 150 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 65 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 65n₂ = 120

z =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 15Σy = 117Σx² = 55Σy² = 2759Σxy = 338

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 6 时的 ŷ。

n = 5x = 6

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 17160 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·9 = 0.54

e^0.54 = 1.716

终值

FV = 10 000·1.716 = €17 160.07

答案

FV = €17 160.07

2.货币的时间价值

答案: FV = 383366 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·24 = 288

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(5.6 − 1)/0.006 = €383 366.02

答案

FV = €383 366.02

你自己存入了 €144 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 12500 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 9 000/(0.11 − 0.03) = 112 500.00

NPV

NPV = 112 500.00 − 100 000 = €12 500.00

答案

NPV = €12 500.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 12.91 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

7 500·1.12² = 9 408.00

11 500·1.12¹ = 12 880.00

6 500·1.12⁰ = 6 500.00

TV = 28 788.00

MIRR

MIRR = (28 788.00/20 000)^1/3 − 1 = 12.91%

答案

MIRR = 12.91%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −107.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.08, N = 11

€45.00·(1 − 0.4289)/0.08 + €1 000·0.4289 = €321.25 + €428.88 = €750.14

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.1, N = 11

€45.00·(1 − 0.3505)/0.1 + €1 000·0.3505 = €292.28 + €350.49 = €642.77

变化

ΔP = 642.77 − 750.14 = −€107.36

答案

ΔP = −€107.36

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.534 %

收益率方程

€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(4%) = €963.70, P(5%) = €929.08

YTM = 4.534%

答案

YTM = 4.534%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.15 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €16 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·11% + 0.25·5%·(1 − 0.28) = 9.15%

答案

WACC = 9.15%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.924 %

市场价值

E = 2 000 000·€11.00 = €22 000 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.6·5% = 6.5%

权重

V = €26 900 000, E/V = 0.8178, D/V = 0.1822

WACC

WACC = 0.8178·6.5% + 0.1822·4.5%·(1 − 0.258) = 5.924%

答案

WACC = 5.924%

9.描述统计

答案: s = 10.08

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 263/7 = 37.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7.429² + 8.429² + (−12.57)² + 8.429² + (−15.57)² + 3.429² + 0.4286² = 609.7

标准差

s = √(609.7/6) = 10.08

答案

s = 10.08

10.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: σ_Y = 1.609

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

线性变换

σ_Y = |2|·0.8047 = 1.609

答案

σ_Y = 1.609

均值确实会改变：E(Y) = 2·0.95 + 10 = 11.9。

13.正态分布

答案: P = 0.6265

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (57.5 − 65)/10 = −0.75

z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−0.75) = 0.8531 − 0.2266 = 0.6265

答案

P = 0.6265

14.正态分布

答案: x = 87.38 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 100 + −0.8416·15 = 87.38 分

答案

x = 87.38 分

15.置信区间

答案: E = 17.32

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 2.571

误差范围

E = 2.571·16.5/√6 = 17.32

答案

E = 17.32

16.置信区间

答案: n = 60

解出 n

n = (2.576·6/2)² = 59.72

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 60

答案

n = 60

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.711

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (7·5.5² + 12·11²)/19 = 87.57

s_p = 9.358

标准误

SE = 9.358·√(1/8 + 1/13) = 4.205

检验统计量

t = (27.5 − 38.9)/4.205 = −2.711

答案

t = −2.711

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: z = 1.065

样本比例

p̂₁ = 150/250 = 0.6

p̂₂ = 65/120 = 0.5417

p̂ = 215/370 = 0.5811

H₀ 下的标准误

SE = √(0.5811·0.4189·(1/250 + 1/120)) = 0.05479

检验统计量

z = (0.6 − 0.5417)/0.05479 = 1.065

答案

z = 1.065

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

19.线性回归与相关

答案: r = −0.8928

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 338 − 15·117/5 = −13

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2759 − 117²/5 = 21.2

答案

r = −0.8928

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 71.2

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 387/5 = 77.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248

回归直线

b = 248/40 = 6.2

a = 77.4 − 6.2·7 = 34

ŷ = 34 + 6.2·x

预测

ŷ = 34 + 6.2·6 = 71.2

答案

ŷ = 71.2

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