CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €3 000，按季度复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €3 0004.8% / 4n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在第 16 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0002.4% / 12N = 360k = 192

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €8 000, €8 000, €7 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 7 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €36 000, €22 500, €27 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 000CF₂ = 22 500CF₃ = 27 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 7%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 13 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 242。发行人可在 4 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 242赎回价格 = €1 070赎回时间 4 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 6%，税率为 25%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 1.5 的负债权益比。税率为 20%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 1.5T = 20%r_f = 3%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：54, 57, 42, 41, 40。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。求成绩 94 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 12x = 94

z =

11.概率中等

袋中有 7 个红球和 6 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 6

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €3，以概率 0.05 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€3: p = 0.15€10: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9706。求 z，保留两位小数。

A = 0.9706

z =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 75% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分75%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 86.5，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 12x̄ = 86.5s = 1399%t(11) = 3.106

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 11。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 11E = 2.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 30。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 53.66。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ > 50。求 p 值 p。

μ₀ = 50σ = 30n = 100x̄ = 53.66H₁: μ > μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ > 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 9。实际上均值为 51.5。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 51.5σ = 9n = 36α = 0.05

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2.5, 23)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(2.5, 23)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 4609 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·9 = 36

终值

FV = 3 000·(1 + 0.012)³⁶ = 3 000·1.536 = €4 609.14

答案

FV = €4 609.14

2.货币的时间价值

答案: B = 138983 €

月供

i = 0.002, N = 360

A = 250 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻³⁶⁰) = €974.85

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 192 = 168

B = 974.9·(1 − (1 + 0.002)⁻¹⁶⁸)/0.002 = €138 983.42

答案

B = €138 983.42

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5400 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 7 000/1.07 = 6 542.06

CF₂/(1 + 0.07)² = 8 000/1.145 = 6 987.51

CF₃/(1 + 0.07)³ = 8 000/1.225 = 6 530.38

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 7 000/1.311 = 5 340.27

相加

NPV = €5 400.22

答案

NPV = €5 400.22

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 34.98 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 3 295.40

NPV(35%) = −13.72

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·3 295.40/(3 295.40 − (−13.72)) = 34.98%

精确: NPV(34.98%) = 0 → IRR = 34.98%

答案

IRR = 34.98%

5.债券定价与收益率

答案: P = 836.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.035, N = 14

票息的现值

€20.00·(1 − 0.6178)/0.035 = €218.41

面值的现值

€1 000·0.6178 = €617.78

价格

P = €836.19

答案

P = €836.19

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 2.291 %

收益率方程

1242 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1070/(1 + y)⁴

数值求解

y = 2%: €1 255.06

y = 3%: €1 210.88

YTC = 2.291%

答案

YTC = 2.291%

到期收益率为 4.501%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.071 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.5714, D/V = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·9% + 0.4286·6%·(1 − 0.25) = 7.071%

答案

WACC = 7.071%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10.26 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.8·1.5) = 1.32

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.32·5.5% = 10.26%

答案

r_e = 10.26%

9.描述统计

答案: s = 8.044

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 234/5 = 46.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7.2² + 10.2² + (−4.8)² + (−5.8)² + (−6.8)² = 258.8

标准差

s = √(258.8/4) = 8.044

答案

s = 8.044

10.描述统计

答案: z = 2

标准化

z = (94 − 70)/12 = 2

答案

z = 2

11.概率

答案: P = 0.2692

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/13 · 6/12 = 42/156 = 0.2692

答案

P = 0.2692

12.概率

答案: E(G) = −0.05 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 2 (p = 0.15), 9 (p = 0.05), −1 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 2·0.15 + 9·0.05 − 1·0.8 = −0.05 €

答案

E(G) = −0.05 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: z = −1.89

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9706 = 0.0294

反向查 z 表

在表中找到 0.0294，读出 z。

z = −1.89

答案

z = −1.89

14.正态分布

答案: x = 58.3 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 65 − 0.67·10 = 58.3 分

答案

x = 58.3 分

15.置信区间

答案: E = 11.66

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 3.106

误差范围

E = 3.106·13/√12 = 11.66

答案

E = 11.66

16.置信区间

答案: n = 129

解出 n

n = (2.576·11/2.5)² = 128.5

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 129

答案

n = 129

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.1112

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 30/√100 = 3

z = (53.66 − 50)/3 = 1.22

尾部面积

Φ(1.22) = 0.8888

1 − Φ(1.22) = 0.1112

p 值

p = 0.1112

答案

p = 0.1112

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 25.95 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 9/√36 = 1.5

x̄_c = 50 + 1.645·1.5 = 52.47

真实均值下的 z

z = (52.47 − 51.5)/1.5 = 0.645

功率

功效 = P(Z > 0.645) = 25.95%

1 − β = 25.95%

答案

1 − β = 25.95%

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9774

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 90/5 = 18

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 114

答案

r = −0.9774

20.线性回归与相关

答案: e = −4.15

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 131/5 = 26.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

回归直线

b = −19/10 = −1.9

a = 26.2 − (−1.9)·3 = 31.9

ŷ = 31.9 − 1.9·x

预测值

ŷ = 31.9 + (−1.9)·2.5 = 27.15

残差

e = 23 − 27.15 = −4.15

答案

e = −4.15

该点位于直线下方。

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