货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 5% 的利率连续复利投资 €2 000。求 10 年后的价值 FV。
PV = €2 000r = 5%t = 10
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 9 年内每月月末存入 €150。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €1502.4% / 12N = 108
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €40 000。它在 8 年内每年年末产生 €7 500，之后可以以 €4 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €40 000CF = €7 500S = €4 000n = 8r = 12%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €18 500，之后每年增长 5%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF1 = €18 500g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，7 年后到期。其到期收益率从 3% 变为 3.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 7y1 = 3%y2 = 3.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 10 年后到期，售价为 €860。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 10P = €860
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 3%。税率为 25.8%。求 WACC。
E = €12 000 000Ps = €1 000 000D = €3 000 000re = 9%rp = 7%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有1 000 000 股、每股 €30.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。
β = 1.1rf = 2.5%rm = 7.5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：59, 37, 48, 31, 20, 12, 17。
n = 7
s =
10.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。求成绩 194 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 12x = 194
z =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.25, 0.15, 0.25
σ =
12.概率困难
测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 10p = 0.1
P =
13.正态分布中等
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 57 和 73 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 73
P =
14.正态分布困难
电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
15.置信区间中等
基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 5.7。 用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？
99%n₁ = 36E₁ = 5.795%
E₂ =
16.置信区间困难
总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 34E = 2.590%
n =
17.假设检验与置信区间中等
49 名学生的样本平均分为 497，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。
μ₀ = 500x̄ = 497s = 8n = 49
t =
18.假设检验与置信区间困难
36 次测量的样本均值为 199.7。总体标准差为 4。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 199.7σ = 4n = 3695%
L =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4, 68)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4, 68)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 3297 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.05·10 = 0.5
e0.5 = 1.649
终值
FV = 2 000·1.649 = €3 297.44
答案
FV = €3 297.44
2.货币的时间价值
答案: FV = 18063 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·9 = 108
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 150·(1.241 − 1)/0.002 = €18 062.60
答案
FV = €18 062.60
你自己存入了 €16 200；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −1127 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
7 500·4.968 = 37 257.30
残值的现值
4 000/2.476 = 1 615.53
NPV
NPV = −40 000 + 37 257.30 + 1 615.53 = −€1 127.17
答案
NPV = −€1 127.17
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −9886 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.05)/(1.1))6 = 0.7564
PV = 18 500/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.7564) = 90 113.85
NPV
NPV = 90 113.85 − 100 000 = −€9 886.15
答案
NPV = −€9 886.15
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = −32.31 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.03, N = 7
€45.00·(1 − 0.8131)/0.03 + €1 000·0.8131 = €280.36 + €813.09 = €1 093.45
按新收益率计算的价格
C = €45.00, i = 0.035, N = 7
€45.00·(1 − 0.786)/0.035 + €1 000·0.786 = €275.15 + €785.99 = €1 061.15
变化
ΔP = 1 061.15 − 1 093.45 = −€32.31
答案
ΔP = −€32.31
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.993 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€860 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(6%) = €926.40, P(7%) = €859.53
YTM = 6.993%
答案
YTM = 6.993%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.605 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 12 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €16 000 000
E/V = 0.75, Ps/V = 0.0625, D/V = 0.1875
WACC
WACC = 0.75·9% + 0.0625·7% + 0.1875·3%·(1 − 0.258) = 7.605%
答案
WACC = 7.605%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.558 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 1 000 000·€30.50 = €30 500 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 1.1·5% = 8%
权重
V = €41 000 000, E/V = 0.7439, D/V = 0.2561
WACC
WACC = 0.7439·8% + 0.2561·3%·(1 − 0.21) = 6.558%
答案
WACC = 6.558%
9.描述统计
答案: s = 17.22
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 224/7 = 32
离差平方
Σ(x − x̄)² = 27² + 5² + 16² + (−1)² + (−12)² + (−20)² + (−15)² = 1780
标准差
s = √(1780/6) = 17.22
答案
s = 17.22
10.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (194 − 170)/12 = 2
答案
z = 2
11.概率
答案: σ = 2.375
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 2·0.25 + 4·0.15 + 6·0.25 = 2.6
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 4·0.25 + 16·0.15 + 36·0.25 = 12.4
方差
Var(X) = 12.4 − 2.6² = 5.64
σ = √5.64 = 2.375
答案
σ = 2.375
12.概率
答案: P = 0.7361
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.910 = 0.3487
P(X = 1) = 10·0.1·0.99 = 0.3874
相加
P = 0.3487 + 0.3874 = 0.7361
答案
P = 0.7361
13.正态分布
答案: P = 0.5763
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (57 − 65)/10 = −0.8
z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8
中间面积
P = Φ(0.8) − Φ(−0.8) = 0.7881 − 0.2119 = 0.5763
答案
P = 0.5763
14.正态分布
答案: x = 593.1 h
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.99 → z = 2.326
换算回 x
x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h
答案
x = 593.05 h
15.置信区间
答案: E₂ = 4.337
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
误差范围之比
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(36/36) = 0.7609
新的误差范围
E₂ = 5.7·0.7609 = 4.337
答案
E₂ = 4.337
16.置信区间
答案: n = 501
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·34/2.5)² = 500.5
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 501
答案
n = 501
17.假设检验与置信区间
答案: t = −2.625
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143
检验统计量
t = (497 − 500)/1.143 = −2.625
答案
t = −2.625
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: L = 198.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·4/√36 = 1.307
区间端点
L = 199.7 − 1.307 = 198.4
答案
L = 198.4
19.线性回归与相关
答案: r = −0.8849
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 112/6 = 18.67
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26
Syy = Σ(y − ȳ)² = 49.33
相关系数
r = −26/√(17.5·49.33) = −0.8849
答案
r = −0.8849
20.线性回归与相关
答案: e = 4.748
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 451/6 = 75.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 417
回归直线
b = 417/70 = 5.957
a = 75.17 − 5.957·6 = 39.42
ŷ = 39.42 + 5.957·x
预测值
ŷ = 39.42 + 5.957·4 = 63.25
残差
e = 68 − 63.25 = 4.748
答案
e = 4.748
该点位于直线上方。
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