CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €1 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004.8% / 4n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 000，共 22 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 22 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 000i = 7%n = 22

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€12 000, €10 000, €7 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 10 000CF₃ = 7 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €50 000。其现金流在第 1 年年末为 €9 000，之后每年增长 5%，直到第 5 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF₁ = €9 000g = 5%n = 5r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 5%n = 10

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 7 年后到期，售价为 €895。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 7P = €895

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 3%，税率为 30%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €8 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 12 年），每张交易价格为 €890。税率为 25.8%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €8 000 000r_e = 10%债券: 4 000 × €890票面利率 = 7%n = 12T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 59, 19, 49, 59。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值低于 106 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 10x = 106

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.3, 0.15, 0.25

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 10X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.25, 0.1, 0.1, 0.3Y = 10X + 20

σ_Y =

13.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 167.85 和 186.75 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 167.85x₂ = 186.75

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = 分

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：30 部手机，均值 143.5 h，已知标准差 20 h。型号 2：100 部手机，均值 140.5 h，已知标准差 8 h。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 30x̄₁ = 143.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 140.5 hσ₂ = 8 h90%

E = h

16.置信区间困难

总体标准差为 23。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 23E = 1.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 121.2，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121.2s = 4n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下，用容量为 25 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 12.5。实际上均值为 191.75。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 191.75σ = 12.5n = 25α = 0.01

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 134Σx² = 220Σy² = 4402Σxy = 984

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 8 时的 ŷ。

n = 6x = 8

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1154 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 1 000·(1 + 0.012)¹² = 1 000·1.154 = €1 153.89

答案

FV = €1 153.89

2.货币的时间价值

答案: FV = 104872 €

普通年金系数

((1 + 0.07)²² − 1)/0.07 = 49.01

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 000·49.01·1.07 = €104 872.28

答案

FV = €104 872.28

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4337 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 12 000/1.07 = 11 214.95

CF₂/(1 + 0.07)² = 10 000/1.145 = 8 734.39

CF₃/(1 + 0.07)³ = 7 000/1.225 = 5 714.09

相加

NPV = €−4 336.57

答案

NPV = €−4 336.57

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −12645 €

增长型年金的现值

((1.05)/(1.1))⁵ = 0.7925

PV = 9 000/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.7925) = 37 355.32

NPV

NPV = 37 355.32 − 50 000 = −€12 644.68

答案

NPV = −€12 644.68

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 1078 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.025, N = 20

票息的现值

€30.00·(1 − 0.6103)/0.025 = €467.67

面值的现值

€1 000·0.6103 = €610.27

价格

P = €1 077.95

答案

P = €1 077.95

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.018 %

收益率方程

€895 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(8%) = €895.87, P(9%) = €849.01

YTM = 8.018%

答案

YTM = 8.018%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.62 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €15 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·9% + 0.2·3%·(1 − 0.3) = 7.62%

答案

WACC = 7.62%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.862 %

债务成本 (YTM)

890 = 70·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 8.497%

市场价值

D = 4 000·€890 = €3 560 000

V = €11 560 000, E/V = 0.692, D/V = 0.308

WACC

WACC = 0.692·10% + 0.308·8.497%·(1 − 0.258) = 8.862%

答案

WACC = 8.862%

9.描述统计

答案: s = 21.61

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 201/5 = 40.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−25.2)² + 18.8² + (−21.2)² + 8.8² + 18.8² = 1869

标准差

s = √(1869/4) = 21.61

答案

s = 21.61

10.描述统计

答案: P = 0.7257

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 0.7257

答案

P = 0.7257

11.概率

答案: Var(X) = 1.327

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.25 = 1.35

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.25 = 3.15

方差

Var(X) = 3.15 − 1.35² = 1.327

答案

Var(X) = 1.327

12.概率

答案: σ_Y = 15.96

X 的离散程度

μ = 1.95, Var(X) = 2.547, σ_X = 1.596

线性变换

σ_Y = |10|·1.596 = 15.96

答案

σ_Y = 15.96

均值确实会改变：E(Y) = 10·1.95 + 20 = 39.5。

13.正态分布

答案: P = 0.8208

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (167.85 − 178)/7 = −1.45

z₂ = (186.75 − 178)/7 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−1.45) = 0.8944 − 0.07353 = 0.8208

答案

P = 0.8208

14.正态分布

答案: x = 129.4 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 分

答案

x = 129.4 分

15.置信区间

答案: E = 6.149 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 143.5 − 140.5 = 3

标准误

SE = √(20²/30 + 8²/100) = 3.738

误差范围

E = 1.645·3.738 = 6.149

答案

E = 6.149 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: n = 904

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·23/1.5)² = 903.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 904

答案

n = 904

17.假设检验与置信区间

答案: t = 3

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√100 = 4/10 = 0.4

检验统计量

t = (121.2 − 120)/0.4 = 3

答案

t = 3

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| > 1.984，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 83.5 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 12.5/√25 = 2.5

x̄_c = 200 − 2.326·2.5 = 194.2

真实均值下的 z

z = (194.2 − 191.75)/2.5 = 0.974

功率

功效 = P(Z < 0.974) = 83.5%

1 − β = 83.5%

答案

1 − β = 83.5%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9995

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 984 − 30·134/5 = 180

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 4402 − 134²/5 = 810.8

答案

r = 0.9995

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 93.12

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 484/6 = 80.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 436

回归直线

b = 436/70 = 6.229

a = 80.67 − 6.229·6 = 43.3

ŷ = 43.3 + 6.229·x

预测

ŷ = 43.3 + 6.229·8 = 93.12

答案

ŷ = 93.12

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