货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 3% 的利率连续复利投资 €5 000。求 12 年后的价值 FV。
PV = €5 000r = 3%t = 12
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €150 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 5.4%，按月复利。在第 24 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €150 0005.4% / 12N = 360k = 288
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €30 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €10 000, €10 000, €9 000, €7 500。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 5%CF0 = −30 000CF1 = 10 000CF2 = 10 000CF3 = 9 000CF4 = 7 500
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €27 500，之后每年增长 5%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF1 = €27 500g = 5%n = 4r = 12%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3.5%n = 6
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只债券的交易价格为 €1 055，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 4.9 年。如果收益率上升 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。
P0 = €1 055y = 4%D = 4.9Δy = +25 bp
P = €
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 3%。税率为 25.8%。求 WACC。
E = €8 000 000Ps = €500 000D = €6 000 000re = 10%rp = 7%rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 0.9。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 30%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 6%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 0.9D/E1 = 0.4D/E2 = 0.75T = 30%rf = 1.5%rm − rf = 6%
re = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：27, 49, 47, 23, 31, 33。
n = 6
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值高于 182 的比例 P 是多少？
μ = 170σ = 12x = 182
P =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.25, 0.2, 0.25
σ =
12.概率困难
一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.15 赢得 €30，以概率 0.05 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €10€30: p = 0.15€200: p = 0.05
E(G) = €
13.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3228。求 z，保留两位小数。
A = 0.3228
z =
14.正态分布困难
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
15.置信区间中等
一个包含 9 个个体的样本，均值为 113，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 9x̄ = 113s = 13.590%t(8) = 1.86
上限 =
16.置信区间困难
总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 4？
σ = 35E = 490%
n =
17.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 73.32，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 73.32s = 12n = 100
t =
18.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？标准差为 8。求最小样本量 n。
σ = 8E = 295%
n =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 求皮尔逊相关系数 r。
n = 6
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 53？
n = 5ŷ = 53
x =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 7167 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.03·12 = 0.36
e0.36 = 1.433
终值
FV = 5 000·1.433 = €7 166.65
答案
FV = €7 166.65
2.货币的时间价值
答案: B = 51703 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.0045, N = 360
A = 150 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)−360) = €842.30
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 360 − 288 = 72
B = 842.3·(1 − (1 + 0.0045)−72)/0.0045 = €51 702.74
答案
B = €51 702.74
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.589 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 10 000/1.05 = 9 523.81 → Σ = 9 523.81
年份 2: 10 000/1.103 = 9 070.29 → Σ = 18 594.10
年份 3: 9 000/1.158 = 7 774.54 → Σ = 26 368.64
年份 4: 7 500/1.216 = 6 170.27 → Σ = 32 538.91
最后一年的分数
DPB = 3 + 3 631.36/6 170.27 = 3.589
答案
DPB = 3.589 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.133 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −10616 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.05)/(1.12))4 = 0.7725
PV = 27 500/(0.12 − 0.05)·(1 − 0.7725) = 89 384.35
NPV
NPV = 89 384.35 − 100 000 = −€10 615.65
答案
NPV = −€10 615.65
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: P = 1242 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €40.00, i = 0.0175, N = 12
票息的现值
€40.00·(1 − 0.8121)/0.0175 = €429.58
面值的现值
€1 000·0.8121 = €812.06
价格
P = €1 241.64
答案
P = €1 241.64
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: P = 1043 €
久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。
修正久期
Dmod = 4.9/1.04 = 4.712
估计的价格变化
%ΔP ≈ −4.712·(0.0025) = −1.178%
P ≈ 1055·(1 − 0.01178) = €1 042.57
答案
P = €1 042.57
久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.68 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 8 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €14 500 000
E/V = 0.5517, Ps/V = 0.03448, D/V = 0.4138
WACC
WACC = 0.5517·10% + 0.03448·7% + 0.4138·3%·(1 − 0.258) = 6.68%
答案
WACC = 6.68%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 7.934 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 0.9/(1 + 0.7·0.4) = 0.7031
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 0.7031·(1 + 0.7·0.75) = 1.072
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 1.072·6% = 7.934%
答案
re = 7.934%
9.描述统计
答案: s = 10.66
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 210/6 = 35
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−8)² + 14² + 12² + (−12)² + (−4)² + (−2)² = 568
标准差
s = √(568/5) = 10.66
答案
s = 10.66
10.描述统计
答案: P = 0.1587
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 1
标准正态分布表
Φ(1) = 0.8413
P = 1 − 0.8413 = 0.1587
答案
P = 0.1587
11.概率
答案: σ = 2.315
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.3 + 2·0.25 + 4·0.2 + 6·0.25 = 2.8
平方的均值
E(X²) = 0·0.3 + 4·0.25 + 16·0.2 + 36·0.25 = 13.2
方差
Var(X) = 13.2 − 2.8² = 5.36
σ = √5.36 = 2.315
答案
σ = 2.315
12.概率
答案: E(G) = 4.5 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 20 (p = 0.15), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 20·0.15 + 190·0.05 − 10·0.8 = 4.5 €
答案
E(G) = 4.5 €
正值表示平均而言你会赢钱。
13.正态分布
答案: z = 0.46
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.3228 = 0.6772
反向查 z 表
在表中找到 0.6772，读出 z。
z = 0.46
答案
z = 0.46
14.正态分布
答案: x = 26.95 min
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min
答案
x = 26.95 min
15.置信区间
答案: 上限 = 121.4
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 8, t = 1.86
误差范围
E = 1.86·13.5/√9 = 8.37
区间
113 ± 8.37 → [104.6, 121.4]
答案
上限 = 121.4
16.置信区间
答案: n = 208
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (1.645·35/4)² = 207.2
向上取整
样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。
n = 208
答案
n = 208
17.假设检验与置信区间
答案: t = −1.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√100 = 12/10 = 1.2
检验统计量
t = (73.32 − 75)/1.2 = −1.4
答案
t = −1.4
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: n = 62
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.96·8/2)² = 61.47
向上取整
n = 62
答案
n = 62
19.线性回归与相关
答案: r = 0.6463
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 231/6 = 38.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 20.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 57.5
相关系数
r = 20.5/√(17.5·57.5) = 0.6463
答案
r = 0.6463
20.线性回归与相关
答案: x = 2.048
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 372/5 = 74.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 290
回归直线
b = 290/40 = 7.25
a = 74.4 − 7.25·5 = 38.15
ŷ = 38.15 + 7.25·x
解出 x
x = (53 − 38.15)/7.25 = 2.048
答案
x = 2.048
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