CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 25%，按月复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 25%m = 12

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 8 年内每月月末存入 €500。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5007.2% / 12N = 96

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 6 年内每年年末产生 €5 000，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €5 000S = €7 500n = 6r = 6%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €22 500, €22 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 500CF₂ = 22 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 8 年后到期，每年付息。到期收益率为 9% 时其售价为 €668。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 8P = €668YTM = 9%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €975。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €975

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €20.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 6%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 1.5%r_m = 6%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：34, 37, 45, 34, 38, 45。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值高于 166 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 166

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.25 赢得 €9，以概率 0.01 赢得 €60；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€9: p = 0.25€60: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 88.75 和 112 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 88.75x₂ = 112

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.05 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.05 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

测量 13 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 3.7，标准差为 5.7。求平均差值的 99% 置信区间的上限。

n = 13d̄ = 3.7s_d = 5.799%t(12) = 3.055

上限 = mmHg

16.置信区间困难

11 根机加工轴的直径样本标准差为 9.9 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 10 时，χ² 分布有 2.5% 位于 3.247 以下，2.5% 位于 20.483 以上。

n = 11s = 9.9 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 97.25，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 97.25s = 10n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 107.5。总体标准差为 20。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 107.5σ = 20n = 1699%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 20Σy = 381Σx² = 90Σy² = 29735Σxy = 1606

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (19.5, 65)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(19.5, 65)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 28.07 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.25/12 = 0.02083

复利一年

EAR = (1 + 0.02083)¹² − 1 = 1.281 − 1 = 28.07%

答案

EAR = 28.07%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 64654 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·8 = 96

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1.776 − 1)/0.006 = €64 654.12

答案

FV = €64 654.12

你自己存入了 €48 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −126.2 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

5 000·4.917 = 24 586.62

残值的现值

7 500/1.419 = 5 287.20

NPV

NPV = −30 000 + 24 586.62 + 5 287.20 = −€126.17

答案

NPV = −€126.17

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.441 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 383.22

NPV(10%) = −1 363.64

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 383.22/(1 383.22 − (−1 363.64)) = 7.518%

精确: NPV(7.441%) = 0 → IRR = 7.441%

答案

IRR = 7.441%

5.债券定价与收益率

答案: c = 3.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.09)⁻⁸ = €501.87

票息

C = (668 − 501.87)/5.535 = €30.02

票面利率

c = 30.02/1000 = 3.002%

答案

c = 3.002%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.934 %

收益率方程

€975 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(5%) = €1 000.00, P(6%) = €973.27

YTM = 5.934%

答案

YTM = 5.934%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.071 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·11% + 0.6·6%·(1 − 0.258) = 7.071%

答案

WACC = 7.071%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.503 %

市场价值

E = 2 000 000·€20.00 = €40 000 000

D = 10 000·€1 020 = €10 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.8·4.5% = 9.6%

权重

V = €50 200 000, E/V = 0.7968, D/V = 0.2032

WACC

WACC = 0.7968·9.6% + 0.2032·6%·(1 − 0.3) = 8.503%

答案

WACC = 8.503%

9.描述统计

答案: s = 5.037

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 233/6 = 38.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−4.833)² + (−1.833)² + 6.167² + (−4.833)² + (−0.8333)² + 6.167² = 126.8

标准差

s = √(126.8/5) = 5.037

答案

s = 5.037

10.描述统计

答案: P = 0.7881

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

11.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

12.概率

答案: E(G) = −0.15 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.25), 57 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)

期望值

E(G) = 6·0.25 + 57·0.01 − 3·0.74 = −0.15 €

答案

E(G) = −0.15 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.5615

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (88.75 − 100)/15 = −0.75

z₂ = (112 − 100)/15 = 0.8

中间面积

P = Φ(0.8) − Φ(−0.75) = 0.7881 − 0.2266 = 0.5615

答案

P = 0.5615

14.正态分布

答案: P = 0.9909

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.05)/0.02121 = −2.36

概率

P = 1 − Φ(−2.36) = 0.9909

答案

P = 0.9909

15.置信区间

答案: 上限 = 8.53 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·5.7/√13 = 4.83

区间

3.7 ± 4.83 → [−1.13, 8.53]

答案

上限 = 8.53 mmHg

16.置信区间

答案: σ = 6.917 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 10·9.9² = 980.1

σ² 的限值

980.1/20.483 = 47.85

980.1/3.247 = 301.8

σ 的限值

σ = √47.85 = 6.917 µm

答案

σ = 6.917 µm

σ 的 95% 区间：[6.917, 17.37] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

检验统计量

t = (97.25 − 100)/1.25 = −2.2

答案

t = −2.2

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 94.62

误差范围

E = 2.576·20/√16 = 12.88

区间端点

L = 107.5 − 12.88 = 94.62

答案

L = 94.62

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9781

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1606 − 20·381/5 = 82

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 29735 − 381²/5 = 702.8

答案

r = 0.9781

20.线性回归与相关

答案: e = 2.114

均值

x̄ = 153/6 = 25.5

ȳ = 522/6 = 87

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 633

回归直线

b = 633/157.5 = 4.019

a = 87 − 4.019·25.5 = −15.49

ŷ = −15.49 + 4.019·x

预测值

ŷ = −15.49 + 4.019·19.5 = 62.89

残差

e = 65 − 62.89 = 2.114

答案

e = 2.114

该点位于直线上方。

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