CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 5% 投资 €12 000，按季度复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0005% / 4n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0004.8% / 12N = 360

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 4 年内每年年末产生 €8 000，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €8 000S = €6 000n = 4r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €25 500, €22 500, €36 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 25 500CF₂ = 22 500CF₃ = 36 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 4 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €868。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 4P = €868YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 7 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7P = €950

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €46.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 1.5%r_m = 8.5%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：39, 33, 60, 56, 17。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 160.4 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 8x = 160.4

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 6

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €8，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€8: p = 0.15€100: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 745.1 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 745.1 g

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 5% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分5%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 20 个个体的样本，均值为 97.5，标准差 s = 19.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 20x̄ = 97.5s = 19.599%t(19) = 2.861

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 28E = 399%

n =

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 74.5 mm，该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 70.5 mm，已知标准差为 15 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 74.5 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 100x̄₂ = 70.5 mmσ₂ = 15 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 199%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (16, 57)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(16, 57)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13929 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.05/4 = 0.0125

N = m·n = 4·3 = 12

终值

FV = 12 000·(1 + 0.0125)¹² = 12 000·1.161 = €13 929.05

答案

FV = €13 929.05

2.货币的时间价值

答案: I = 177759 €

月供

i = 0.004, N = 360

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁶⁰) = €1 049.33

利息总额

I = N·A − P = 360·1049 − 200 000 = €177 759.06

答案

I = €177 759.06

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −543 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

8 000·3.17 = 25 358.92

残值的现值

6 000/1.464 = 4 098.08

NPV

NPV = −30 000 + 25 358.92 + 4 098.08 = −€543.00

答案

NPV = −€543.00

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 29.39 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 3 488.00

NPV(30%) = −457.44

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·3 488.00/(3 488.00 − (−457.44)) = 29.42%

精确: NPV(29.39%) = 0 → IRR = 29.39%

答案

IRR = 29.39%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.015 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻⁴ = €735.03

票息

C = (868 − 735.03)/3.312 = €40.15

票面利率

c = 40.15/1000 = 4.015%

答案

c = 4.015%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.959 %

收益率方程

€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €947.94

YTM = 7.959%

答案

YTM = 7.959%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.292 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC

WACC = 0.8333·8% + 0.1667·5%·(1 − 0.25) = 7.292%

答案

WACC = 7.292%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.804 %

市场价值

E = 2 000 000·€46.50 = €93 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.3·7% = 10.6%

权重

V = €103 000 000, E/V = 0.9029, D/V = 0.09709

WACC

WACC = 0.9029·10.6% + 0.09709·3%·(1 − 0.2) = 9.804%

答案

WACC = 9.804%

9.描述统计

答案: s = 17.54

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 205/5 = 41

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2)² + (−8)² + 19² + 15² + (−24)² = 1230

标准差

s = √(1230/4) = 17.54

答案

s = 17.54

10.描述统计

答案: P = 0.8849

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答案

P = 0.8849

11.概率

答案: P = 0.6651

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

答案

P = 0.6651

12.概率

答案: E(G) = 0.2 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.15), 98 (p = 0.01), −2 (p = 0.84)

期望值

E(G) = 6·0.15 + 98·0.01 − 2·0.84 = 0.2 €

答案

E(G) = 0.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.6915

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (745.1 − 750)/9.849 = −0.5

上尾

P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915

答案

P = 0.6915

14.正态分布

答案: x = 81.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.95

由表得到的 z

z ≈ 1.64

回到原来的单位

x = 65 + 1.64·10 = 81.4 分

答案

x = 81.4 分

15.置信区间

答案: 上限 = 110

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 19, t = 2.861

误差范围

E = 2.861·19.5/√20 = 12.47

区间

97.5 ± 12.47 → [85.03, 110]

答案

上限 = 110

16.置信区间

答案: n = 579

解出 n

n = (2.576·28/3)² = 578

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 579

答案

n = 579

17.假设检验与置信区间

答案: z = 2.505

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(3²/30 + 15²/100) = √2.55 = 1.597

检验统计量

z = (74.5 − 70.5)/1.597 = 2.505

答案

z = 2.505

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 956

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·12/1)² = 955.6

向上取整

n = 956

答案

n = 956

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9914

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 138/5 = 27.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 651.2

答案

r = 0.9914

20.线性回归与相关

答案: e = 2.95

均值

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 343/5 = 68.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194

回归直线

b = 194/40 = 4.85

a = 68.6 − 4.85·19 = −23.55

ŷ = −23.55 + 4.85·x

预测值

ŷ = −23.55 + 4.85·16 = 54.05

残差

e = 57 − 54.05 = 2.95

答案

e = 2.95

该点位于直线上方。

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income