CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €25 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €25 0002% / 12n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €250 0003.6% / 12N = 300

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€22 000, €25 000, €12 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 22 000CF₂ = 25 000CF₃ = 12 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €9 500, €15 500, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 9 500CF₂ = 15 500CF₃ = 15 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 8 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €943。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 8P = €943YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 6 年后到期，售价为 €925。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 6P = €925

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.25 的股票要求回报为 11%。无风险利率为 3.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.25r_e = 11%r_f = 3.5%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €40.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 4%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 4%r_m = 10%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 11, 22, 47, 49。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值低于 164 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 164

P =

11.概率中等

从 7 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 7k = 3

N =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.35, 0.2Y = 5X + 20

σ_Y =

13.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 762.3 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762.3 g

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

15.置信区间中等

基于 50 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 7.8。如果同一研究改用 200 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 50E₁ = 7.8n₂ = 200

E₂ =

16.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.6 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.05？

p ≈ 0.6E = 0.0595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

64 名学生的样本平均分为 118.5，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 118.5s = 4n = 64

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 2.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 42Σy = 565Σx² = 364Σy² = 56797Σxy = 4454

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 1.5 时的 ŷ。

n = 6x = 1.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 22623 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·5 = 60

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 25 000/1.105 = €22 622.82

答案

PV = €22 622.82

2.货币的时间价值

答案: A = 1265 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4071

A = 250 000·0.003/(1 − 0.4071) = €1 265.01

答案

A = €1 265.01

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −14076 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 22 000/1.15 = 19 130.43

CF₂/(1 + 0.15)² = 25 000/1.322 = 18 903.59

CF₃/(1 + 0.15)³ = 12 000/1.521 = 7 890.19

相加

NPV = €−14 075.78

答案

NPV = €−14 075.78

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 25.5 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 200.00

NPV(30%) = −1 693.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·200.00/(200.00 − (−1 693.22)) = 25.53%

精确: NPV(25.5%) = 0 → IRR = 25.5%

答案

IRR = 25.5%

5.债券定价与收益率

答案: c = 7.008 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻⁸ = €540.27

票息

C = (943 − 540.27)/5.747 = €70.08

票面利率

c = 70.08/1000 = 7.008%

答案

c = 7.008%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.452 %

收益率方程

€925 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(4%) = €947.58, P(5%) = €898.49

YTM = 4.452%

答案

YTM = 4.452%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 9.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (11% − 3.5%)/1.25 = 6%

市场回报

r_m = 3.5% + 6% = 9.5%

答案

r_m = 9.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.12 %

市场价值

E = 4 000 000·€40.00 = €160 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.1·6% = 10.6%

权重

V = €170 000 000, E/V = 0.9412, D/V = 0.05882

WACC

WACC = 0.9412·10.6% + 0.05882·3%·(1 − 0.2) = 10.12%

答案

WACC = 10.12%

9.描述统计

答案: s = 18.28

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 180/5 = 36

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15² + (−25)² + (−14)² + 11² + 13² = 1336

标准差

s = √(1336/4) = 18.28

答案

s = 18.28

10.描述统计

答案: P = 0.1151

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

答案

P = 0.1151

11.概率

答案: N = 35

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(7, 3) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35

答案

N = 35

12.概率

答案: σ_Y = 5.585

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 2.45, Var(X) = 1.247, σ_X = 1.117

线性变换

σ_Y = |5|·1.117 = 5.585

答案

σ_Y = 5.585

均值确实会改变：E(Y) = 5·2.45 + 20 = 32.25。

13.正态分布

答案: P = 0.1056

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (762.3 − 750)/9.849 = 1.25

上尾

P = 1 − Φ(1.25) = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

14.正态分布

答案: x = 172.1 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm

答案

x = 172.11 cm

15.置信区间

答案: E₂ = 3.9

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(50/200) = 0.5

新的误差范围

E₂ = 7.8·0.5 = 3.9

答案

E₂ = 3.9

16.置信区间

答案: n = 369

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.6·0.4/0.05² = 368.8

向上取整

n = 369

答案

n = 369

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√64 = 4/8 = 0.5

检验统计量

t = (118.5 − 120)/0.5 = −3

答案

t = −3

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 28

解出 n

n = (1.645·8/2.5)² = 27.71

向上取整

n = 28

答案

n = 28

19.线性回归与相关

答案: r = 0.995

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 4454 − 42·565/6 = 499

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 56797 − 565²/6 = 3593

答案

r = 0.995

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 27.07

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 124/6 = 20.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −56

回归直线

b = −56/17.5 = −3.2

a = 20.67 − (−3.2)·3.5 = 31.87

ŷ = 31.87 − 3.2·x

预测

ŷ = 31.87 + (−3.2)·1.5 = 27.07

答案

ŷ = 27.07

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