CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €2 000，按季度复利。求 2 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003% / 4n = 2

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 24 年内每月月末存入 €300。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3007.2% / 12N = 288

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 6 年内每年年末产生 €10 000，之后可以以 €9 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €10 000S = €9 000n = 6r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €80 000 的投资在 4 年内每年年末回报 €26 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €80 000CF = €26 500n = 4

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 14 年后到期，每年付息。到期收益率为 3.5% 时其售价为 €1 491。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 14P = €1 491YTM = 3.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 10 年后到期，售价为 €875。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10P = €875

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 13%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 6%。税率为 30%。求 WACC。

E = €5 000 000P_s = €1 500 000D = €3 000 000r_e = 13%r_p = 7.5%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.9。它计划采用 0.5 的负债权益比。税率为 25%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.9D/E = 0.5T = 25%r_f = 1.5%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：48, 10, 21, 53, 41, 10, 53。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 173 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 5x = 173

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

σ =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €30，以概率 0.05 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€30: p = 0.25€500: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 438.4 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 438.4 kg

P =

14.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

15.置信区间中等

一个包含 11 个个体的样本，均值为 65，标准差 s = 15.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 11x̄ = 65s = 15.599%t(10) = 3.169

E =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：14 块地，平均产量 72.5 kg，标准差 2.5 kg。地块组 2：12 块地，均值 78.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 14x̄₁ = 72.5s₁ = 2.5n₂ = 12x̄₂ = 78.5s₂ = 990%t(24) = 1.711

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 104.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 104.3s = 15n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 117.6。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 117.6σ = 15n = 4990%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 124Σx² = 220Σy² = 3654Σxy = 896

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 30.5 时的 ŷ。

n = 6x = 30.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2123 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·2 = 8

终值

FV = 2 000·(1 + 0.0075)⁸ = 2 000·1.062 = €2 123.20

答案

FV = €2 123.20

2.货币的时间价值

答案: FV = 230020 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·24 = 288

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(5.6 − 1)/0.006 = €230 019.61

答案

FV = €230 019.61

你自己存入了 €86 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −8100 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

10 000·4.623 = 46 228.80

残值的现值

9 000/1.587 = 5 671.53

NPV

NPV = −60 000 + 46 228.80 + 5 671.53 = −€8 099.68

答案

NPV = −€8 099.68

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.29 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 80 000/26 500 = 3.019

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 12%: 3.037

i = 13%: 2.974

IRR = 12.29%

答案

IRR = 12.29%

5.债券定价与收益率

答案: c = 7.996 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.035)⁻¹⁴ = €617.78

票息

C = (1491 − 617.78)/10.92 = €79.96

票面利率

c = 79.96/1000 = 7.996%

答案

c = 7.996%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 10.04 %

收益率方程

€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

数值求解

P(10%) = €877.11, P(11%) = €823.32

YTM = 10.04%

答案

YTM = 10.04%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.353 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 1 500 000 + 3 000 000 = €9 500 000

E/V = 0.5263, P_s/V = 0.1579, D/V = 0.3158

WACC

WACC = 0.5263·13% + 0.1579·7.5% + 0.3158·6%·(1 − 0.3) = 9.353%

答案

WACC = 9.353%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.925 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.9·(1 + 0.75·0.5) = 1.238

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.238·6% = 8.925%

答案

r_e = 8.925%

9.描述统计

答案: s = 19.53

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 236/7 = 33.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14.29² + (−23.71)² + (−12.71)² + 19.29² + 7.286² + (−23.71)² + 19.29² = 2287

标准差

s = √(2287/6) = 19.53

答案

s = 19.53

10.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (173 − 170)/5 = 0.6

答案

z = 0.6

11.概率

答案: σ = 0.8367

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

方差

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

σ = √0.7 = 0.8367

答案

σ = 0.8367

12.概率

答案: E(G) = 22.5 €

净结果

G: 20 (p = 0.25), 490 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

期望值

E(G) = 20·0.25 + 490·0.05 − 10·0.7 = 22.5 €

答案

E(G) = 22.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.6915

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26.83 kg

标准化

z = (438.4 − 425)/26.83 = 0.5

概率

P = Φ(0.5) = 0.6915

答案

P = 0.6915

14.正态分布

答案: P = 0.7881

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

15.置信区间

答案: E = 14.81

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 3.169

误差范围

E = 3.169·15.5/√11 = 14.81

答案

E = 14.81

16.置信区间

答案: E = 4.284 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (13·2.5² + 11·9²)/24 = 40.51

s_p = 6.365

误差范围

E = 1.711·6.365·√(1/14 + 1/12) = 4.284

答案

E = 4.284 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.72

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5

检验统计量

t = (104.3 − 100)/2.5 = 1.72

答案

t = 1.72

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| < 2.03，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 121.1

误差范围

E = 1.645·15/√49 = 3.525

区间端点

U = 117.6 + 3.525 = 121.1

答案

U = 121.1

19.线性回归与相关

答案: r = 0.999

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 896 − 30·124/5 = 152

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3654 − 124²/5 = 578.8

答案

r = 0.999

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 151.2

均值

x̄ = 147/6 = 24.5

ȳ = 725/6 = 120.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 796.5

回归直线

b = 796.5/157.5 = 5.057

a = 120.8 − 5.057·24.5 = −3.067

ŷ = −3.067 + 5.057·x

预测

ŷ = −3.067 + 5.057·30.5 = 151.2

答案

ŷ = 151.2

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