CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €10 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0003.6% / 4n = 9

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 14 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0002.4% / 12N = 168

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€15 000, €13 000, €10 000, €22 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 13 000CF₃ = 10 000CF₄ = 22 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €3 500, €2 500。项目 B 需投入 €12 000，回报为 €3 500, €4 500, €6 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 3 500, 2 500B: −12 000, 3 500, 4 500, 6 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，3 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 5%n = 3

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €972。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 3P = €972

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 3%。税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €5 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €36.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2.5%r_m = 8%r_d = 3%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：56, 40, 25, 54, 21。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 470 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 25x = 470

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.3 赢得 €50，以概率 0.02 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€50: p = 0.3€200: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0162。求 z，保留两位小数。

A = 0.0162

z =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g75%

x = g

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 138.5 h，已知标准差 15 h。型号 2：100 部手机，均值 136 h，已知标准差 10 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 50x̄₁ = 138.5 hσ₁ = 15 hn₂ = 100x̄₂ = 136 hσ₂ = 10 h99%

E = h

16.置信区间困难

20 根机加工轴的直径样本标准差为 6.4 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 19 时，χ² 分布有 2.5% 位于 8.907 以下，2.5% 位于 32.852 以上。

n = 20s = 6.4 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

81 名学生的样本平均分为 47.07，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 47.07s = 12n = 81

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 11。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 1.5σ = 11z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (8, 71)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(8, 71)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 7243 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·9 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.381 = €7 242.99

答案

PV = €7 242.99

2.货币的时间价值

答案: A = 501.4 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·14 = 168

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.002/(1.399 − 1) = €501.42

答案

A = €501.42

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4143 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 15 000/1.08 = 13 888.89

CF₂/(1 + 0.08)² = 13 000/1.166 = 11 145.40

CF₃/(1 + 0.08)³ = 10 000/1.26 = 7 938.32

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 22 000/1.36 = 16 170.66

相加

NPV = €4 143.27

答案

NPV = €4 143.27

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 4.802 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 3 500 − 6 000 = −2 500

ΔCF₂ = 4 500 − 3 500 = 1 000

ΔCF₃ = 6 500 − 2 500 = 4 000

差额的 IRR

NPV_Δ(4%) = 76.70

NPV_Δ(5%) = −18.57

r* = 4.802%

答案

r* = 4.802%

校核：在 4.802% 时两个 NPV 都是 €1 083.58。

5.债券定价与收益率

答案: P = 986.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.025, N = 6

票息的现值

€22.50·(1 − 0.8623)/0.025 = €123.93

面值的现值

€1 000·0.8623 = €862.30

价格

P = €986.23

答案

P = €986.23

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.017 %

每期

C = €20.00, N = 6

数值求解

i = 2.508% 每半年

YTM

YTM = 2·2.508% = 5.017%

答案

YTM = 5.017%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.403 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 500 000 + 5 000 000 = €15 500 000

E/V = 0.6452, P_s/V = 0.03226, D/V = 0.3226

WACC

WACC = 0.6452·10% + 0.03226·7% + 0.3226·3%·(1 − 0.25) = 7.403%

答案

WACC = 7.403%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 12.12 %

市场价值

E = 5 000 000·€36.00 = €180 000 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.8·5.5% = 12.4%

权重

V = €185 100 000, E/V = 0.9724, D/V = 0.02755

WACC

WACC = 0.9724·12.4% + 0.02755·3%·(1 − 0.25) = 12.12%

答案

WACC = 12.12%

9.描述统计

答案: s = 16.08

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 196/5 = 39.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 16.8² + 0.8² + (−14.2)² + 14.8² + (−18.2)² = 1035

标准差

s = √(1035/4) = 16.08

答案

s = 16.08

10.描述统计

答案: P = 0.1151

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

答案

P = 0.1151

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: E(G) = 9 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 40 (p = 0.3), 190 (p = 0.02), −10 (p = 0.68)

期望值

E(G) = 40·0.3 + 190·0.02 − 10·0.68 = 9 €

答案

E(G) = 9 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: z = 2.14

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0162 = 0.9838

反向查 z 表

在表中找到 0.9838，读出 z。

z = 2.14

答案

z = 2.14

14.正态分布

答案: x = 253.4 g

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 250 + 0.67·5 = 253.4 g

答案

x = 253.4 g

15.置信区间

答案: E = 6.041 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 138.5 − 136 = 2.5

标准误

SE = √(15²/50 + 10²/100) = 2.345

误差范围

E = 2.576·2.345 = 6.041

答案

E = 6.041 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: σ = 9.347 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 19·6.4² = 778.2

σ² 的限值

778.2/32.852 = 23.69

778.2/8.907 = 87.37

σ 的限值

σ = √87.37 = 9.347 µm

答案

σ = 9.347 µm

σ 的 95% 区间：[4.867, 9.347] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.197

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√81 = 12/9 = 1.333

检验统计量

t = (47.07 − 50)/1.333 = −2.197

答案

t = −2.197

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| > 1.99，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 701

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·11/1.5)² = 700.1

向上取整

n = 701

答案

n = 701

19.线性回归与相关

答案: r = 0.941

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 352/5 = 70.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 317.2

答案

r = 0.941

20.线性回归与相关

答案: e = 1.95

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 271/5 = 54.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 198

回归直线

b = 198/40 = 4.95

a = 54.2 − 4.95·5 = 29.45

ŷ = 29.45 + 4.95·x

预测值

ŷ = 29.45 + 4.95·8 = 69.05

残差

e = 71 − 69.05 = 1.95

答案

e = 1.95

该点位于直线上方。

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