CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €5 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0004.8% / 12n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 13 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 2.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €100 0002.4% / 12N = 156

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €20 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €20 000g = 1%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €4 500, €4 500, €4 500, €6 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 500CF₂ = 4 500CF₃ = 4 500CF₄ = 6 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 6 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €908。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 6P = €908YTM = 8%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 8 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 8P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €56.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 1%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 1%r_m = 7.5%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：44, 56, 30, 35, 56, 24, 52。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 15。数值高于 52.5 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 15x = 52.5

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 6

P =

12.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.7k = 3

P =

13.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 468 和 540 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 540

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的后 25% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 12 个个体的样本，均值为 88，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 12x̄ = 88s = 1690%t(11) = 1.796

E =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：12 块地，平均产量 53 kg，标准差 4.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 45 kg，标准差 1 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 12x̄₁ = 53s₁ = 4.5n₂ = 10x̄₂ = 45s₂ = 199%t(20) = 2.845

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 198.1，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 198.1s = 15n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 78.2。总体标准差为 20。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 78.2σ = 20n = 10095%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 24 时的 ŷ。

n = 6x = 24

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3935 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·5 = 60

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.271 = €3 935.02

答案

PV = €3 935.02

2.货币的时间价值

答案: A = 546.9 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·13 = 156

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 100 000·0.002/(1.366 − 1) = €546.85

答案

A = €546.85

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −18182 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 20 000/(0.12 − 0.01) = 181 818.18

NPV

NPV = 181 818.18 − 200 000 = −€18 181.82

答案

NPV = −€18 181.82

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 23.16 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

4 500·1.12³ = 6 322.18

4 500·1.12² = 5 644.80

4 500·1.12¹ = 5 040.00

6 000·1.12⁰ = 6 000.00

TV = 23 006.98

MIRR

MIRR = (23 006.98/10 000)^1/4 − 1 = 23.16%

答案

MIRR = 23.16%

5.债券定价与收益率

答案: c = 6.01 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.08)⁻⁶ = €630.17

票息

C = (908 − 630.17)/4.623 = €60.10

票面利率

c = 60.1/1000 = 6.01%

答案

c = 6.01%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.005 %

收益率方程

€940 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(7%) = €940.29, P(8%) = €885.07

YTM = 7.005%

答案

YTM = 7.005%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.25 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·12% + 0.3333·5%·(1 − 0.25) = 9.25%

答案

WACC = 9.25%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.146 %

市场价值

E = 4 000 000·€56.00 = €224 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.8·6.5% = 6.2%

权重

V = €229 000 000, E/V = 0.9782, D/V = 0.02183

WACC

WACC = 0.9782·6.2% + 0.02183·5%·(1 − 0.258) = 6.146%

答案

WACC = 6.146%

9.描述统计

答案: s = 12.99

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 297/7 = 42.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.571² + 13.57² + (−12.43)² + (−7.429)² + 13.57² + (−18.43)² + 9.571² = 1012

标准差

s = √(1012/6) = 12.99

答案

s = 12.99

10.描述统计

答案: P = 0.6915

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

答案

P = 0.6915

11.概率

答案: P = 0.6651

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

答案

P = 0.6651

12.概率

答案: P = 0.3087

二项分布公式

P(X = 3) = 10·0.7³·0.3² = 10·0.343·0.09 = 0.3087

答案

P = 0.3087

13.正态分布

答案: P = 0.6295

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (468 − 500)/40 = −0.8

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

中间面积

P = Φ(1) − Φ(−0.8) = 0.8413 − 0.2119 = 0.6295

答案

P = 0.6295

14.正态分布

答案: x = 173.3 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 178 − 0.67·7 = 173.3 cm

答案

x = 173.3 cm

15.置信区间

答案: E = 8.295

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 1.796

误差范围

E = 1.796·16/√12 = 8.295

答案

E = 8.295

16.置信区间

答案: E = 4.147 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (11·4.5² + 9·1²)/20 = 11.59

s_p = 3.404

误差范围

E = 2.845·3.404·√(1/12 + 1/10) = 4.147

答案

E = 4.147 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = −0.8867

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

检验统计量

t = (198.1 − 200)/2.143 = −0.8867

答案

t = −0.8867

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 82.12

误差范围

E = 1.96·20/√100 = 3.92

区间端点

U = 78.2 + 3.92 = 82.12

答案

U = 82.12

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9636

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 72.8

答案

r = −0.9636

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 137.2

均值

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 743/6 = 123.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 467

回归直线

b = 467/70 = 6.671

a = 123.8 − 6.671·22 = −22.94

ŷ = −22.94 + 6.671·x

预测

ŷ = −22.94 + 6.671·24 = 137.2

答案

ŷ = 137.2

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