CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 3% 的利率连续复利投资 €2 000。求 12 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 3%t = 12

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 17 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 17 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 3%n = 17

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €35 000, €24 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 15 000CF₂ = 35 000CF₃ = 24 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 4%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €22 500g = 4%n = 6r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 9%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 15 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 194。发行人可在 4 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 194赎回价格 = €1 080赎回时间 4 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 11.4%。无风险利率为 3%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.4r_e = 11.4%r_f = 3%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €19.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：35, 43, 52, 17, 22, 20, 21。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。数值高于 545 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 75x = 545

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.2 赢得 €9，以概率 0.01 赢得 €30；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€9: p = 0.2€30: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 99.9 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99.9 s

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 25% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 20 个个体的样本，均值为 103，标准差 s = 12。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 20x̄ = 103s = 1290%t(19) = 1.729

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 10。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 10E = 0.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 41，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 41s = 20n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 4。求最小样本量 n。

σ = 4E = 1.595%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 6

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (2, 43)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(2, 43)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2867 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.03·12 = 0.36

e^0.36 = 1.433

终值

FV = 2 000·1.433 = €2 866.66

答案

FV = €2 866.66

2.货币的时间价值

答案: FV = 56036 €

普通年金系数

((1 + 0.03)¹⁷ − 1)/0.03 = 21.76

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·21.76·1.03 = €56 036.09

答案

FV = €56 036.09

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −14406 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 15 000/1.1 = 13 636.36

CF₂/(1 + 0.1)² = 35 000/1.21 = 28 925.62

CF₃/(1 + 0.1)³ = 24 000/1.331 = 18 031.56

相加

NPV = €−14 406.46

答案

NPV = €−14 406.46

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −42840 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))⁶ = 0.7142

PV = 22 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.7142) = 107 160.15

NPV

NPV = 107 160.15 − 150 000 = −€42 839.85

答案

NPV = −€42 839.85

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 817.6 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.045, N = 12

票息的现值

€25.00·(1 − 0.5897)/0.045 = €227.96

面值的现值

€1 000·0.5897 = €589.66

价格

P = €817.63

答案

P = €817.63

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 4.467 %

收益率方程

1194 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1080/(1 + y)⁴

数值求解

y = 4%: €1 213.58

y = 5%: €1 172.19

YTC = 4.467%

答案

YTC = 4.467%

到期收益率为 6.002%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 9 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (11.4% − 3%)/1.4 = 6%

市场回报

r_m = 3% + 6% = 9%

答案

r_m = 9%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.315 %

市场价值

E = 4 000 000·€19.50 = €78 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.8·6.5% = 6.7%

权重

V = €120 000 000, E/V = 0.65, D/V = 0.35

WACC

WACC = 0.65·6.7% + 0.35·7%·(1 − 0.2) = 6.315%

答案

WACC = 6.315%

9.描述统计

答案: s = 13.49

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 210/7 = 30

离差平方

Σ(x − x̄)² = 5² + 13² + 22² + (−13)² + (−8)² + (−10)² + (−9)² = 1092

标准差

s = √(1092/6) = 13.49

答案

s = 13.49

10.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: E(G) = −0.9 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.2), 27 (p = 0.01), −3 (p = 0.79)

期望值

E(G) = 6·0.2 + 27·0.01 − 3·0.79 = −0.9 €

答案

E(G) = −0.9 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (99.9 − 105)/6.403 = −0.8

上尾

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

14.正态分布

答案: x = 473 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

答案

x = 473 h

15.置信区间

答案: 上限 = 107.6

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 19, t = 1.729

误差范围

E = 1.729·12/√20 = 4.639

区间

103 ± 4.639 → [98.36, 107.6]

答案

上限 = 107.6

16.置信区间

答案: n = 1537

解出 n

n = (1.96·10/0.5)² = 1537

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1537

答案

n = 1537

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.8

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

检验统计量

t = (41 − 50)/5 = −1.8

答案

t = −1.8

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 28

解出 n

n = (1.96·4/1.5)² = 27.32

向上取整

n = 28

答案

n = 28

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9418

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 468/6 = 78

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 346

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1816

决定系数

r² = 346²/(70·1816) = 0.9418

答案

r² = 0.9418

y 的变异中约有 94.18% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = 4.5

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 257/5 = 51.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

回归直线

b = 172/40 = 4.3

a = 51.4 − 4.3·5 = 29.9

ŷ = 29.9 + 4.3·x

预测值

ŷ = 29.9 + 4.3·2 = 38.5

残差

e = 43 − 38.5 = 4.5

答案

e = 4.5

该点位于直线上方。

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