CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €10 000。求 3 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 4%t = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 000，共 15 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 15 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 000i = 4%n = 15

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在 6 年内每年年末回报 €15 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 500CF₂ = 15 500CF₃ = 15 500CF₄ = 15 500CF₅ = 15 500CF₆ = 15 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €11 000, €13 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 000CF₃ = 13 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 6%n = 10

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，4 年后到期。其售价为 €1 037。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 4P = €1 037

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.8 的股票要求回报为 6%。无风险利率为 2%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.8r_e = 6%r_f = 2%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €10.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 3%r_m = 9%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：23, 41, 20, 20, 50, 36, 16。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 600 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 100x = 600

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.15, 0.2, 0.35

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.1, 0.25, 0.3, 0.35Y = 3X + 5

σ_Y =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 55.5 和 75.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 55.5x₂ = 75.5

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 25%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 58.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 8x̄ = 58.5s = 195%t(7) = 2.365

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 26。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 4？

σ = 26E = 499%

n =

17.假设检验与置信区间中等

8 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 1.92，差值的标准差为 6.8。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 8d̄ = 1.92s_d = 6.8

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 50 与 H₁: μ > 50 进行单侧 z 检验；已知标准差为 16。实际上均值为 55。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 50μ = 55σ = 16n = 64α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 48Σy = 413Σx² = 454Σy² = 29643Σxy = 3591

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 39？

n = 6ŷ = 39

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 11275 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·3 = 0.12

e^0.12 = 1.127

终值

FV = 10 000·1.127 = €11 274.97

答案

FV = €11 274.97

2.货币的时间价值

答案: FV = 41649 €

普通年金系数

((1 + 0.04)¹⁵ − 1)/0.04 = 20.02

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 000·20.02·1.04 = €41 649.06

答案

FV = €41 649.06

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.332 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 15 500/1.12 = 13 839.29 → Σ = 13 839.29

年份 2: 15 500/1.254 = 12 356.51 → Σ = 26 195.79

年份 3: 15 500/1.405 = 11 032.59 → Σ = 37 228.38

年份 4: 15 500/1.574 = 9 850.53 → Σ = 47 078.91

年份 5: 15 500/1.762 = 8 795.12 → Σ = 55 874.03

最后一年的分数

DPB = 4 + 2 921.09/8 795.12 = 4.332

答案

DPB = 4.332 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.226 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.09 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 34.72

NPV(25%) = −1 848.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·34.72/(34.72 − (−1 848.00)) = 20.09%

精确: NPV(20.09%) = 0 → IRR = 20.09%

答案

IRR = 20.09%

5.债券定价与收益率

答案: P = 851.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.03, N = 20

票息的现值

€20.00·(1 − 0.5537)/0.03 = €297.55

面值的现值

€1 000·0.5537 = €553.68

价格

P = €851.23

答案

P = €851.23

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.011 %

每期

C = €20.00, N = 8

数值求解

i = 1.506% 每半年

YTM

YTM = 2·1.506% = 3.011%

答案

YTM = 3.011%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 7 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (6% − 2%)/0.8 = 5%

市场回报

r_m = 2% + 5% = 7%

答案

r_m = 7%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.175 %

市场价值

E = 2 000 000·€10.00 = €20 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.6·6% = 6.6%

权重

V = €40 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·6.6% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 5.175%

答案

WACC = 5.175%

9.描述统计

答案: s = 12.91

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 206/7 = 29.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6.429)² + 11.57² + (−9.429)² + (−9.429)² + 20.57² + 6.571² + (−13.43)² = 999.7

标准差

s = √(999.7/6) = 12.91

答案

s = 12.91

10.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (600 − 500)/100 = 1

答案

z = 1

11.概率

答案: Var(X) = 1.54

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.15 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.6

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.15 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.3

方差

Var(X) = 8.3 − 2.6² = 1.54

答案

Var(X) = 1.54

12.概率

答案: σ_Y = 5.97

X 的离散程度

μ = 3.8, Var(X) = 3.96, σ_X = 1.99

线性变换

σ_Y = |3|·1.99 = 5.97

答案

σ_Y = 5.97

均值确实会改变：E(Y) = 3·3.8 + 5 = 16.4。

13.正态分布

答案: P = 0.6821

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (55.5 − 65)/10 = −0.95

z₂ = (75.5 − 65)/10 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−0.95) = 0.8531 − 0.1711 = 0.6821

答案

P = 0.6821

14.正态分布

答案: x = 58.26 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 65 + −0.6745·10 = 58.26 分

答案

x = 58.26 分

15.置信区间

答案: E = 0.8362

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 2.365

误差范围

E = 2.365·1/√8 = 0.8362

答案

E = 0.8362

16.置信区间

答案: n = 281

解出 n

n = (2.576·26/4)² = 280.4

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 281

答案

n = 281

17.假设检验与置信区间

答案: t = 0.7986

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 6.8/√8 = 2.404

检验统计量

t = 1.92/2.404 = 0.7986

答案

t = 0.7986

df = 7 时，双侧 5% 的临界值为 2.365；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 88.84 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 50 + 1.282·2 = 52.56

真实均值下的 z

z = (52.56 − 55)/2 = −1.218

功率

功效 = P(Z > −1.218) = 88.84%

1 − β = 88.84%

答案

1 − β = 88.84%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9842

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 3591 − 48·413/6 = 287

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 29643 − 413²/6 = 1215

答案

r = 0.9842

20.线性回归与相关

答案: x = 7.996

均值

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 208/6 = 34.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

回归直线

b = 152/70 = 2.171

a = 34.67 − 2.171·6 = 21.64

ŷ = 21.64 + 2.171·x

解出 x

x = (39 − 21.64)/2.171 = 7.996

答案

x = 7.996

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