CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €20 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0004.8% / 12n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 17 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 7.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €10 0007.2% / 12N = 204

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €4 500, €6 000, €6 000, €6 000, €6 000, €8 000。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 500CF₂ = 6 000CF₃ = 6 000CF₄ = 6 000CF₅ = 6 000CF₆ = 8 000

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €5 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €5 000n = 7

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 4.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 6y₁ = 6%y₂ = 4.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 000，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 5.9 年。如果收益率上升 50 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 000y = 4%D = 5.9Δy = +50 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €18.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 1.5%r_m = 8%r_d = 6%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 42, 43, 52, 26, 40。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 62 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 10x = 62

z =

11.概率中等

袋中有 3 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 8

P =

12.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.5

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6102。求 z，保留两位小数。

A = 0.6102

z =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

15.置信区间中等

测量 13 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −3.3，标准差为 5.5。求平均差值的 95% 置信区间的下限。

n = 13d̄ = −3.3s_d = 5.595%t(12) = 2.179

下限 = mmHg

16.置信区间困难

30 根机加工轴的直径样本标准差为 7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。

n = 30s = 7 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：9 名学生，平均分 91.5，标准差 2。第 2 组：5 名学生，平均分 95.7，标准差 5.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 9x̄₁ = 91.5s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 95.7s₂ = 5.5

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 30。实际上均值为 505.4。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 505.4σ = 30n = 100α = 0.05

β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 141Σy = 545Σx² = 3471Σy² = 53323Σxy = 13577

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 29)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(9, 29)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 25413 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 20 000·(1 + 0.004)⁶⁰ = 20 000·1.271 = €25 412.81

答案

FV = €25 412.81

2.货币的时间价值

答案: A = 25.12 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·17 = 204

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.006/(3.388 − 1) = €25.12

答案

A = €25.12

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.915 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 4 500/1.12 = 4 017.86 → Σ = 4 017.86

年份 2: 6 000/1.254 = 4 783.16 → Σ = 8 801.02

年份 3: 6 000/1.405 = 4 270.68 → Σ = 13 071.70

年份 4: 6 000/1.574 = 3 813.11 → Σ = 16 884.81

年份 5: 6 000/1.762 = 3 404.56 → Σ = 20 289.37

最后一年的分数

DPB = 4 + 3 115.19/3 404.56 = 4.915

答案

DPB = 4.915 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.583 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 16.33 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/5 000 = 4

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 16%: 4.039

i = 17%: 3.922

IRR = 16.33%

答案

IRR = 16.33%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 73.76 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.06, N = 6

€45.00·(1 − 0.705)/0.06 + €1 000·0.705 = €221.28 + €704.96 = €926.24

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.045, N = 6

€45.00·(1 − 0.7679)/0.045 + €1 000·0.7679 = €232.10 + €767.90 = €1 000.00

变化

ΔP = 1 000.00 − 926.24 = €73.76

答案

ΔP = €73.76

6.债券定价与收益率

答案: P = 971.6 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 5.9/1.04 = 5.673

估计的价格变化

%ΔP ≈ −5.673·(0.005) = −2.837%

P ≈ 1000·(1 − 0.02837) = €971.63

答案

P = €971.63

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.164 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·10% + 0.5455·6%·(1 − 0.2) = 7.164%

答案

WACC = 7.164%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.823 %

市场价值

E = 4 000 000·€18.00 = €72 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.8·6.5% = 6.7%

权重

V = €114 000 000, E/V = 0.6316, D/V = 0.3684

WACC

WACC = 0.6316·6.7% + 0.3684·6%·(1 − 0.28) = 5.823%

答案

WACC = 5.823%

9.描述统计

答案: s = 11.59

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 224/6 = 37.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16.33)² + 4.667² + 5.667² + 14.67² + (−11.33)² + 2.667² = 671.3

标准差

s = √(671.3/5) = 11.59

答案

s = 11.59

10.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (62 − 70)/10 = −0.8

答案

z = −0.8

11.概率

答案: P = 0.05455

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0.05455

答案

P = 0.05455

12.概率

答案: P = 0.1875

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.5⁵ = 0.03125

P(X = 1) = 5·0.5·0.5⁴ = 0.1563

相加

P = 0.03125 + 0.1563 = 0.1875

答案

P = 0.1875

13.正态分布

答案: z = 0.86

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.6102)/2 = 0.8051

反向查 z 表

在表中找到 0.8051，读出 z。

z = 0.86

答案

z = 0.86

14.正态分布

答案: x = 166.5 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

答案

x = 166.49 cm

15.置信区间

答案: 下限 = −6.624 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 12, t = 2.179

误差范围

E = 2.179·5.5/√13 = 3.324

区间

−3.3 ± 3.324 → [−6.624, 0.0239]

答案

下限 = −6.624 mmHg

16.置信区间

答案: σ = 5.575 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 29·7² = 1421

σ² 的限值

1421/45.722 = 31.08

1421/16.047 = 88.55

σ 的限值

σ = √31.08 = 5.575 µm

答案

σ = 5.575 µm

σ 的 95% 区间：[5.575, 9.41] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.109

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (8·2² + 4·5.5²)/12 = 12.75

s_p = 3.571

标准误

SE = 3.571·√(1/9 + 1/5) = 1.992

检验统计量

t = (91.5 − 95.7)/1.992 = −2.109

答案

t = −2.109

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: β = 43.84 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 + 1.645·3 = 504.9

真实均值下的 z

z = (504.9 − 505.4)/3 = −0.155

第二类错误

功效 = P(Z > −0.155) = 56.16%

β = 100% − 56.16% = 43.84%

答案

β = 43.84%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9922

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 13577 − 141·545/6 = 769.5

S_xx = 3471 − 141²/6 = 157.5

S_yy = 53323 − 545²/6 = 3819

答案

r = 0.9922

20.线性回归与相关

答案: e = −2.5

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 147/6 = 24.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 245

回归直线

b = 245/70 = 3.5

a = 24.5 − 3.5·7 = 0

ŷ = 0 + 3.5·x

预测值

ŷ = 0 + 3.5·9 = 31.5

残差

e = 29 − 31.5 = −2.5

答案

e = −2.5

该点位于直线下方。

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