CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €5 000g = 4%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 7 年内每月月末存入 €300。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3002.4% / 12N = 84

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €8 000, €9 000, €9 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000CF₄ = 9 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 10 年内每年年末回报 €2 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €2 500n = 10

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 4% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 3% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4y₀ = 4%y₁ = 3%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 3 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 3P = €950

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 8.5%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 0.9r_e = 8.5%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €42.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 6%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2%r_m = 6%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：26, 53, 59, 24, 23。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值低于 185 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 15x = 185

P =

11.概率中等

从 10 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 10k = 5

N =

12.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.3

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.2358。求 z，保留两位小数。

A = 0.2358

z =

14.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 124.5 h，已知标准差 10 h。型号 2：30 部手机，均值 121 h，已知标准差 12 h。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。

n₁ = 40x̄₁ = 124.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 30x̄₂ = 121 hσ₂ = 12 h95%

上限 = h

16.置信区间困难

总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 36E = 190%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 503.6，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 503.6s = 12n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 11。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 4σ = 11z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 29？

n = 5ŷ = 29

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 166667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.07 − 0.04) = 5 000/0.03 = €166 666.67

答案

PV = €166 666.67

2.货币的时间价值

答案: FV = 27411 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·7 = 84

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.183 − 1)/0.002 = €27 410.72

答案

FV = €27 410.72

你自己存入了 €25 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4753 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 7 000/1.12 = 6 250.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 8 000/1.254 = 6 377.55

CF₃/(1 + 0.12)³ = 9 000/1.405 = 6 406.02

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 9 000/1.574 = 5 719.66

相加

NPV = €4 753.24

答案

NPV = €4 753.24

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 4.277 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/2 500 = 8

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 4%: 8.111

i = 5%: 7.722

IRR = 4.277%

答案

IRR = 4.277%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 6.88 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.04, N = 4

€30.00·(1 − 0.8548)/0.04 + €1 000·0.8548 = €108.90 + €854.80 = €963.70

卖出价

C = €30.00, i = 0.03, N = 3

€30.00·(1 − 0.9151)/0.03 + €1 000·0.9151 = €84.86 + €915.14 = €1 000.00

持有期收益率

HPR = (30 + 1 000.00 − 963.70)/963.70 = 6.88%

答案

HPR = 6.88%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.974 %

收益率方程

€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(8%) = €974.23, P(9%) = €949.37

YTM = 8.974%

答案

YTM = 8.974%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 9 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (8.5% − 4%)/0.9 = 5%

市场回报

r_m = 4% + 5% = 9%

答案

r_m = 9%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.966 %

市场价值

E = 5 000 000·€42.00 = €210 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 0.8·4% = 5.2%

权重

V = €231 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·5.2% + 0.09091·3.5%·(1 − 0.25) = 4.966%

答案

WACC = 4.966%

9.描述统计

答案: s = 17.51

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 185/5 = 37

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−11)² + 16² + 22² + (−13)² + (−14)² = 1226

标准差

s = √(1226/4) = 17.51

答案

s = 17.51

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: N = 252

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(10, 5) = (10·9·8·7·6)/(5·4·3·2·1) = 252

答案

N = 252

12.概率

答案: P = 0.1493

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹⁰ = 0.02825

P(X = 1) = 10·0.3·0.7⁹ = 0.1211

相加

P = 0.02825 + 0.1211 = 0.1493

答案

P = 0.1493

13.正态分布

答案: z = 0.3

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.2358)/2 = 0.6179

反向查 z 表

在表中找到 0.6179，读出 z。

z = 0.30

答案

z = 0.30

14.正态分布

答案: x = 258.2 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 250 + 1.645·5 = 258.22 g

答案

x = 258.22 g

15.置信区间

答案: 上限 = 8.796 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 124.5 − 121 = 3.5

标准误

SE = √(10²/40 + 12²/30) = 2.702

误差范围

E = 1.96·2.702 = 5.296

区间

3.5 ± 5.296 → [−1.796, 8.796]

答案

上限 = 8.796 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: n = 3508

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·36/1)² = 3507

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3508

答案

n = 3508

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√49 = 12/7 = 1.714

检验统计量

t = (503.6 − 500)/1.714 = 2.1

答案

t = 2.1

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 76

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·11/4)² = 75.9

向上取整

n = 76

答案

n = 76

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9905

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 260/5 = 52

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 114

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 328

决定系数

r² = 114²/(40·328) = 0.9905

答案

r² = 0.9905

y 的变异中约有 99.05% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 7.012

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 124/5 = 24.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

回归直线

b = 166/40 = 4.15

a = 24.8 − 4.15·6 = −0.1

ŷ = −0.1 + 4.15·x

解出 x

x = (29 − (−0.1))/4.15 = 7.012

答案

x = 7.012

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