CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €1 000，按季度复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0003.6% / 4n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 27 年内每月月末存入 €50。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €507.2% / 12N = 324

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 7 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €1 500n = 7r = 10%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €16 000, €14 500, €16 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 14 500CF₃ = 16 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 8 年的债券（面值 €1 000，年票息 2%）到期收益率为 5.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 7% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 8y₀ = 5.5%y₁ = 7%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 085。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €1 085

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €12 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 8%，税前债务成本为 4%。税率为 21%。求 WACC。

E = €12 000 000P_s = €1 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_p = 8%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €50.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 9.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：30, 55, 53, 31, 22, 37。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值高于 475 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 50x = 475

P =

11.概率中等

从 13 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 13k = 4

N =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 5X + 20。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.15, 0.35, 0.35Y = 5X + 20

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9596。求 z，保留两位小数。

A = 0.9596

z =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分30%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 65.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 16x̄ = 65.5s = 11.595%t(15) = 2.131

E =

16.置信区间困难

16 根机加工轴的直径样本标准差为 10.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 15 时，χ² 分布有 2.5% 位于 6.262 以下，2.5% 位于 27.488 以上。

n = 16s = 10.1 µmχ² = 6.262, 27.488

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 99.5 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 108.2 mm，已知标准差为 15 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 99.5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 100x̄₂ = 108.2 mmσ₂ = 15 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 13。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 4σ = 13z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 20.5 时的 ŷ。

n = 5x = 20.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1196 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = m·n = 4·5 = 20

终值

FV = 1 000·(1 + 0.009)²⁰ = 1 000·1.196 = €1 196.25

答案

FV = €1 196.25

2.货币的时间价值

答案: FV = 49551 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·27 = 324

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(6.946 − 1)/0.006 = €49 551.46

答案

FV = €49 551.46

你自己存入了 €16 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 7662 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁷)/0.1 = 4.868

年化购置价格

30 000/4.868 = 6 162.16

EAC

EAC = 6 162.16 + 1 500 = €7 662.16

答案

EAC = €7 662.16

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 38.92 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 1 311.03

NPV(40%) = −342.57

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·1 311.03/(1 311.03 − (−342.57)) = 38.96%

精确: NPV(38.92%) = 0 → IRR = 38.92%

答案

IRR = 38.92%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −3.566 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €20.00, i = 0.055, N = 8

€20.00·(1 − 0.6516)/0.055 + €1 000·0.6516 = €126.69 + €651.60 = €778.29

卖出价

C = €20.00, i = 0.07, N = 7

€20.00·(1 − 0.6227)/0.07 + €1 000·0.6227 = €107.79 + €622.75 = €730.54

持有期收益率

HPR = (20 + 730.54 − 778.29)/778.29 = −3.566%

答案

HPR = −3.566%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.035 %

收益率方程

€1 085 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12

YTM = 5.035%

答案

YTM = 5.035%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.09 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 12 000 000 + 1 000 000 + 3 000 000 = €16 000 000

E/V = 0.75, P_s/V = 0.0625, D/V = 0.1875

WACC

WACC = 0.75·12% + 0.0625·8% + 0.1875·4%·(1 − 0.21) = 10.09%

答案

WACC = 10.09%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.939 %

市场价值

E = 4 000 000·€50.50 = €202 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·6% = 10.1%

权重

V = €206 800 000, E/V = 0.9768, D/V = 0.02321

WACC

WACC = 0.9768·10.1% + 0.02321·4.5%·(1 − 0.3) = 9.939%

答案

WACC = 9.939%

9.描述统计

答案: s = 13.3

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 228/6 = 38

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−8)² + 17² + 15² + (−7)² + (−16)² + (−1)² = 884

标准差

s = √(884/5) = 13.3

答案

s = 13.3

10.描述统计

答案: P = 0.6915

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 1 − 0.3085 = 0.6915

答案

P = 0.6915

11.概率

答案: N = 715

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(13, 4) = (13·12·11·10)/(4·3·2·1) = 715

答案

N = 715

12.概率

答案: σ_Y = 52.2

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 29, Var(X) = 109, σ_X = 10.44

线性变换

σ_Y = |5|·10.44 = 52.2

答案

σ_Y = 52.2

均值确实会改变：E(Y) = 5·29 + 20 = 165。

13.正态分布

答案: z = 2.05

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9596)/2 = 0.9798

反向查 z 表

在表中找到 0.9798，读出 z。

z = 2.05

答案

z = 2.05

14.正态分布

答案: x = 107.8 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.7

由表得到的 z

z ≈ 0.52

回到原来的单位

x = 100 + 0.52·15 = 107.8 分

答案

x = 107.8 分

15.置信区间

答案: E = 6.127

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.131

误差范围

E = 2.131·11.5/√16 = 6.127

答案

E = 6.127

16.置信区间

答案: σ = 7.461 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 15·10.1² = 1530

σ² 的限值

1530/27.488 = 55.67

1530/6.262 = 244.4

σ 的限值

σ = √55.67 = 7.461 µm

答案

σ = 7.461 µm

σ 的 95% 区间：[7.461, 15.63] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: z = −2.408

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(18²/30 + 15²/100) = √13.05 = 3.612

检验统计量

z = (99.5 − 108.2)/3.612 = −2.408

答案

z = −2.408

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 66

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·13/4)² = 65.33

向上取整

n = 66

答案

n = 66

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9891

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 590/6 = 98.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 352

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1809

答案

r = 0.9891

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 82.9

均值

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 450/5 = 90

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 426

回归直线

b = 426/90 = 4.733

a = 90 − 4.733·22 = −14.13

ŷ = −14.13 + 4.733·x

预测

ŷ = −14.13 + 4.733·20.5 = 82.9

答案

ŷ = 82.9

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income