货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 5% 的利率连续复利投资 €5 000。求 14 年后的价值 FV。
PV = €5 000r = 5%t = 14
FV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 2.4% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €275。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €20 000A = €2752.4% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€11 000, €22 000, €14 000, €21 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。
r = 7.000000000000001%CF0 = −45 000CF1 = 11 000CF2 = 22 000CF3 = 14 000CF4 = 21 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 500, €10 000, €16 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 17 500CF2 = 10 000CF3 = 16 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，10 年后到期。其到期收益率从 7% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 3%n = 10y1 = 7%y2 = 5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 10 年后到期，售价为 €875。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 10P = €875
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 30%。求 WACC。
D/E = 1.5re = 9%rd = 7%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €26.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。
β = 0.9rf = 1%rm = 5.5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：26, 24, 46, 14, 23, 10。
n = 6
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 12。数值高于 104.8 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 12x = 104.8
P =
11.概率中等
一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？
n = 6
P =
12.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.35, 0.3, 0.2Y = 0.5X + 4
σY =
13.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.7673。求 z，保留两位小数。
A = 0.7673
z =
14.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 80%
x = cm
15.置信区间中等
一个包含 15 个个体的样本，均值为 84，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 15x̄ = 84s = 490%t(14) = 1.761
上限 =
16.置信区间困难
20 根机加工轴的直径样本标准差为 0.8 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 19 时，χ² 分布有 2.5% 位于 8.907 以下，2.5% 位于 32.852 以上。
n = 20s = 0.8 µmχ² = 8.907, 32.852
σ = µm
17.假设检验与置信区间中等
100 名学生的样本平均分为 201.2，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。
μ₀ = 200x̄ = 201.2s = 10n = 100
t =
18.假设检验与置信区间困难
64 次测量的样本均值为 76.7。总体标准差为 5。求均值 99% 置信区间的下限 L。
x̄ = 76.7σ = 5n = 6499%
L =
19.线性回归与相关中等
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 5
r² =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 9 时的 ŷ。
n = 6x = 9
ŷ =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 10069 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.05·14 = 0.7
e0.7 = 2.014
终值
FV = 5 000·2.014 = €10 068.76
答案
FV = €10 068.76
2.货币的时间价值
答案: N = 79 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.002
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0.002/275 = 0.8545
用对数求解
N = −ln(0.8545)/ln(1.002) = 78.67
向上取整到整次还款
78 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 79
答案
N = 79 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 11945 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.07)1 = 11 000/1.07 = 10 280.37
CF2/(1 + 0.07)2 = 22 000/1.145 = 19 215.65
CF3/(1 + 0.07)3 = 14 000/1.225 = 11 428.17
CF4/(1 + 0.07)4 = 21 000/1.311 = 16 020.80
相加
NPV = €11 945.00
答案
NPV = €11 945.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 34.85 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 1 661.36
NPV(35%) = −46.99
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·1 661.36/(1 661.36 − (−46.99)) = 34.86%
精确: NPV(34.85%) = 0 → IRR = 34.85%
答案
IRR = 34.85%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 126.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.07, N = 10
€30.00·(1 − 0.5083)/0.07 + €1 000·0.5083 = €210.71 + €508.35 = €719.06
按新收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.05, N = 10
€30.00·(1 − 0.6139)/0.05 + €1 000·0.6139 = €231.65 + €613.91 = €845.57
变化
ΔP = 845.57 − 719.06 = €126.51
答案
ΔP = €126.51
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 10.04 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(10%) = €877.11, P(11%) = €823.32
YTM = 10.04%
答案
YTM = 10.04%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.54 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4
D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6
WACC
WACC = 0.4·9% + 0.6·7%·(1 − 0.3) = 6.54%
答案
WACC = 6.54%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 4.902 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€26.50 = €53 000 000
D = 20 000·€980 = €19 600 000
股权成本（CAPM）
re = 1% + 0.9·4.5% = 5.05%
权重
V = €72 600 000, E/V = 0.73, D/V = 0.27
WACC
WACC = 0.73·5.05% + 0.27·6%·(1 − 0.25) = 4.902%
答案
WACC = 4.902%
9.描述统计
答案: s = 12.53
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 143/6 = 23.83
离差平方
Σ(x − x̄)² = 2.167² + 0.1667² + 22.17² + (−9.833)² + (−0.8333)² + (−13.83)² = 784.8
标准差
s = √(784.8/5) = 12.53
答案
s = 12.53
10.描述统计
答案: P = 0.3446
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.4
标准正态分布表
Φ(0.4) = 0.6554
P = 1 − 0.6554 = 0.3446
答案
P = 0.3446
11.概率
答案: P = 0.6651
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
补事件
P(没有六点) = (5/6)6 = 0.3349
P = 1 − 0.3349 = 0.6651
答案
P = 0.6651
12.概率
答案: σY = 0.9734
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.1, Var(X) = 3.79, σX = 1.947
线性变换
σY = |0.5|·1.947 = 0.9734
答案
σY = 0.9734
均值确实会改变：E(Y) = 0.5·3.1 + 4 = 5.55。
13.正态分布
答案: z = −0.73
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.7673 = 0.2327
反向查 z 表
在表中找到 0.2327，读出 z。
z = −0.73
答案
z = −0.73
14.正态分布
答案: x = 183.9 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416
换算回 x
x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm
答案
x = 183.89 cm
15.置信区间
答案: 上限 = 85.82
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 14, t = 1.761
误差范围
E = 1.761·4/√15 = 1.819
区间
84 ± 1.819 → [82.18, 85.82]
答案
上限 = 85.82
16.置信区间
答案: σ = 0.6084 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 19·0.8² = 12.16
σ² 的限值
12.16/32.852 = 0.3701
12.16/8.907 = 1.365
σ 的限值
σ = √0.3701 = 0.6084 µm
答案
σ = 0.6084 µm
σ 的 95% 区间：[0.6084, 1.168] µm。
17.假设检验与置信区间
答案: t = 1.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 10/√100 = 10/10 = 1
检验统计量
t = (201.2 − 200)/1 = 1.2
答案
t = 1.2
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: L = 75.09
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 2.576·5/√64 = 1.61
区间端点
L = 76.7 − 1.61 = 75.09
答案
L = 75.09
19.线性回归与相关
答案: r² = 0.9569
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 351/5 = 70.2
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71
Syy = Σ(y − ȳ)² = 526.8
决定系数
r² = 71²/(10·526.8) = 0.9569
答案
r² = 0.9569
y 的变异中约有 95.69% 可由该直线解释。
20.线性回归与相关
答案: ŷ = 33
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 157/6 = 26.17
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239
回归直线
b = 239/70 = 3.414
a = 26.17 − 3.414·7 = 2.267
ŷ = 2.267 + 3.414·x
预测
ŷ = 2.267 + 3.414·9 = 33
答案
ŷ = 33
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