CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €5 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0003.6% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €30 000 的贷款在 6 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €30 0007.2% / 12N = 72

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €30 000，之后现金流每年永久增长 1%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €30 000g = 1%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €25 500，之后每年增长 2%，直到第 7 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €25 500g = 2%n = 7r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 5.5%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 7 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 7P = €950

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €6 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 6%。税率为 21%。求 WACC。

E = €6 000 000P_s = €1 500 000D = €6 000 000r_e = 12%r_p = 6.5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.1。公司计划把负债权益比提高到 1.5。税率为 30%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 4.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1.5T = 30%r_f = 4%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：17, 23, 30, 30, 19。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 35 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 15x = 35

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.05, 0.3, 0.35

Var(X) =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.15 赢得 €15，以概率 0.05 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€15: p = 0.15€250: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.5527。求 z，保留两位小数。

A = 0.5527

z =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 10%

x = 分

15.置信区间中等

基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 9.1。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 100E₁ = 9.195%

E₂ =

16.置信区间困难

总体标准差为 38。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 38E = 1.590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 69.5，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 69.5s = 15n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

16 次测量的样本均值为 501.2。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 501.2σ = 4n = 1690%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 20Σy = 273Σx² = 90Σy² = 14991Σxy = 1119

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 62？

n = 5ŷ = 62

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6666 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 5 000·(1 + 0.003)⁹⁶ = 5 000·1.333 = €6 665.91

答案

FV = €6 665.91

2.货币的时间价值

答案: I = 7034 €

月供

i = 0.006, N = 72

A = 30 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻⁷²) = €514.36

利息总额

I = N·A − P = 72·514.4 − 30 000 = €7 033.64

答案

I = €7 033.64

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 22727 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 30 000/(0.12 − 0.01) = 272 727.27

NPV

NPV = 272 727.27 − 250 000 = €22 727.27

答案

NPV = €22 727.27

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −69140 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.1))⁷ = 0.5895

PV = 25 500/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.5895) = 130 860.46

NPV

NPV = 130 860.46 − 200 000 = −€69 139.54

答案

NPV = −€69 139.54

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 935.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.0275, N = 10

票息的现值

€20.00·(1 − 0.7624)/0.0275 = €172.80

面值的现值

€1 000·0.7624 = €762.40

价格

P = €935.20

答案

P = €935.20

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.959 %

收益率方程

€950 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €947.94

YTM = 7.959%

答案

YTM = 7.959%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.162 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 6 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €13 500 000

E/V = 0.4444, P_s/V = 0.1111, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.4444·12% + 0.1111·6.5% + 0.4444·6%·(1 − 0.21) = 8.162%

答案

WACC = 8.162%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.93 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.1/(1 + 0.7·0.4) = 0.8594

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.8594·(1 + 0.7·1.5) = 1.762

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.762·4.5% = 11.93%

答案

r_e = 11.93%

9.描述统计

答案: s = 6.058

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 119/5 = 23.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6.8)² + (−0.8)² + 6.2² + 6.2² + (−4.8)² = 146.8

标准差

s = √(146.8/4) = 6.058

答案

s = 6.058

10.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

答案

P = 0.1587

11.概率

答案: Var(X) = 1.94

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.1 + 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.6

平方的均值

E(X²) = 0·0.1 + 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.35 = 8.7

方差

Var(X) = 8.7 − 2.6² = 1.94

答案

Var(X) = 1.94

12.概率

答案: E(G) = 9.75 €

净结果

G: 10 (p = 0.15), 245 (p = 0.05), −5 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 10·0.15 + 245·0.05 − 5·0.8 = 9.75 €

答案

E(G) = 9.75 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: z = 0.76

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.5527)/2 = 0.7764

反向查 z 表

在表中找到 0.7764，读出 z。

z = 0.76

答案

z = 0.76

14.正态分布

答案: x = 52.18 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分

答案

x = 52.18 分

15.置信区间

答案: E₂ = 6.924

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(100/100) = 0.7609

新的误差范围

E₂ = 9.1·0.7609 = 6.924

答案

E₂ = 6.924

16.置信区间

答案: n = 1737

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·38/1.5)² = 1737

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1737

答案

n = 1737

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√36 = 15/6 = 2.5

检验统计量

t = (69.5 − 75)/2.5 = −2.2

答案

t = −2.2

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 499.6

误差范围

E = 1.645·4/√16 = 1.645

区间端点

L = 501.2 − 1.645 = 499.6

答案

L = 499.6

19.线性回归与相关

答案: r = 0.925

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1119 − 20·273/5 = 27

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 14991 − 273²/5 = 85.2

答案

r = 0.925

20.线性回归与相关

答案: x = 8.013

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 252/5 = 50.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 154

回归直线

b = 154/40 = 3.85

a = 50.4 − 3.85·5 = 31.15

ŷ = 31.15 + 3.85·x

解出 x

x = (62 − 31.15)/3.85 = 8.013

答案

x = 8.013

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