CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €10 000。求 13 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 5%t = 13

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €10 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €10 0004.8% / 12N = 48

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€7 000, €10 000, €10 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €15 500, €14 000, €9 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 15 500CF₂ = 14 000CF₃ = 9 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 6 年后到期，每年付息。到期收益率为 9% 时其售价为 €686。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 6P = €686YTM = 9%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 040，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 7.8 年。如果收益率下降 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 040y = 5%D = 7.8Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.6。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 0.6r_e = 8%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €32.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 1%r_m = 5.5%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：40, 54, 59, 14, 52, 12。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值高于 166 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 166

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.3 赢得 €20，以概率 0.01 赢得 €250；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€20: p = 0.3€250: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.1056。求 z，保留两位小数。

A = 0.1056

z =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 75%

x = 分

15.置信区间中等

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 3.2。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 25E₁ = 3.295%

E₂ =

16.置信区间困难

总体标准差为 24。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 24E = 0.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

36 名学生的样本平均分为 97.93，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 97.93s = 4n = 36

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 1.5 个单位的偏移。标准差为 9。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 90%δ = 1.5σ = 9z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 49)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 49)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 19155 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·13 = 0.65

e^0.65 = 1.916

终值

FV = 10 000·1.916 = €19 155.41

答案

FV = €19 155.41

2.货币的时间价值

答案: I = 1011 €

月供

i = 0.004, N = 48

A = 10 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻⁴⁸) = €229.39

利息总额

I = N·A − P = 48·229.4 − 10 000 = €1 010.63

答案

I = €1 010.63

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 223.6 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 7 000/1.15 = 6 086.96

CF₂/(1 + 0.15)² = 10 000/1.322 = 7 561.44

CF₃/(1 + 0.15)³ = 10 000/1.521 = 6 575.16

相加

NPV = €223.56

答案

NPV = €223.56

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 27.84 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 968.00

NPV(30%) = −696.40

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·968.00/(968.00 − (−696.40)) = 27.91%

精确: NPV(27.84%) = 0 → IRR = 27.84%

答案

IRR = 27.84%

5.债券定价与收益率

答案: c = 2 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.09)⁻⁶ = €596.27

票息

C = (686 − 596.27)/4.486 = €20.00

票面利率

c = 20/1000 = 2%

答案

c = 2%

6.债券定价与收益率

答案: P = 1098 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 7.8/1.05 = 7.429

估计的价格变化

%ΔP ≈ −7.429·(−0.0075) = 5.571%

P ≈ 1040·(1 + 0.05571) = €1 097.94

答案

P = €1 097.94

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.113 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.6) = 0.625

D/V = 0.6/(1 + 0.6) = 0.375

WACC

WACC = 0.625·8% + 0.375·4%·(1 − 0.258) = 6.113%

答案

WACC = 6.113%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.433 %

市场价值

E = 5 000 000·€32.50 = €162 500 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.1·4.5% = 5.95%

权重

V = €203 300 000, E/V = 0.7993, D/V = 0.2007

WACC

WACC = 0.7993·5.95% + 0.2007·4.5%·(1 − 0.25) = 5.433%

答案

WACC = 5.433%

9.描述统计

答案: s = 20.72

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/6 = 38.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.5² + 15.5² + 20.5² + (−24.5)² + 13.5² + (−26.5)² = 2148

标准差

s = √(2148/5) = 20.72

答案

s = 20.72

10.描述统计

答案: P = 0.7881

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

11.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

12.概率

答案: E(G) = 3.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 15 (p = 0.3), 245 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)

期望值

E(G) = 15·0.3 + 245·0.01 − 5·0.69 = 3.5 €

答案

E(G) = 3.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: z = 1.25

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.1056 = 0.8944

反向查 z 表

在表中找到 0.8944，读出 z。

z = 1.25

答案

z = 1.25

14.正态分布

答案: x = 71.75 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 65 + 0.6745·10 = 71.75 分

答案

x = 71.75 分

15.置信区间

答案: E₂ = 2.435

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/25) = 0.7609

新的误差范围

E₂ = 3.2·0.7609 = 2.435

答案

E₂ = 2.435

16.置信区间

答案: n = 15289

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·24/0.5)² = 15289

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 15289

答案

n = 15289

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.105

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√36 = 4/6 = 0.6667

检验统计量

t = (97.93 − 100)/0.6667 = −3.105

答案

t = −3.105

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 309

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.282)·9/1.5)² = 308.4

向上取整

n = 309

答案

n = 309

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9819

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 80/5 = 16

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 142

答案

r = −0.9819

20.线性回归与相关

答案: e = −2.4

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 236/5 = 47.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28

回归直线

b = 28/10 = 2.8

a = 47.2 − 2.8·3 = 38.8

ŷ = 38.8 + 2.8·x

预测值

ŷ = 38.8 + 2.8·4.5 = 51.4

残差

e = 49 − 51.4 = −2.4

答案

e = −2.4

该点位于直线下方。

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