CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 15 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 5%n = 15

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 19 年后得到 €25 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €25 0006% / 12N = 228

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€21 000, €13 000, €23 000, €22 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 13 000CF₃ = 23 000CF₄ = 22 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €40 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €16 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €40 000CF = €16 500n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 3.5%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 3 年后到期，售价为 €945。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 3P = €945

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 2 的股票要求回报为 12%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 2r_e = 12%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €8.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 10%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 3.5%r_m = 10%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 34, 29, 12, 16, 47。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 62 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 10x = 62

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X − 3。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.15, 0.15, 0.3Y = 2X − 3

σ_Y =

13.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量低于 99 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 4< 99 kg

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 25 个个体的样本，均值为 71，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 25x̄ = 71s = 11.599%t(24) = 2.797

上限 =

16.置信区间困难

一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.03？

p ≈ 0.15E = 0.0390%

n =

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 250；已知总体标准差为 24。一个含 144 个观测值的随机样本均值为 252.76。检验 H₀: μ = 250 对 H₁: μ > 250。求 p 值 p。

μ₀ = 250σ = 24n = 144x̄ = 252.76H₁: μ > μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

81 次测量的样本均值为 52.2。总体标准差为 8。求均值 95% 置信区间的下限 L。

x̄ = 52.2σ = 8n = 8195%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 5x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 5190 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.481)/0.05 = 10.38

现值

PV = 500·10.38 = €5 189.83

答案

PV = €5 189.83

2.货币的时间价值

答案: A = 59.02 €

月利率和存款次数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·19 = 228

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0.005/(3.118 − 1) = €59.02

答案

A = €59.02

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3553 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 21 000/1.09 = 19 266.06

CF₂/(1 + 0.09)² = 13 000/1.188 = 10 941.84

CF₃/(1 + 0.09)³ = 23 000/1.295 = 17 760.22

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 22 000/1.412 = 15 585.35

相加

NPV = €3 553.47

答案

NPV = €3 553.47

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 11.46 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 40 000/16 500 = 2.424

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 11%: 2.444

i = 12%: 2.402

IRR = 11.46%

答案

IRR = 11.46%

5.债券定价与收益率

答案: P = 977.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0175, N = 10

票息的现值

€15.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €136.52

面值的现值

€1 000·0.8407 = €840.73

价格

P = €977.25

答案

P = €977.25

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.02 %

收益率方程

€945 = €30·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(5%) = €945.54, P(6%) = €919.81

YTM = 5.02%

答案

YTM = 5.02%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (12% − 4%)/2 = 4%

市场回报

r_m = 4% + 4% = 8%

答案

r_m = 8%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.227 %

市场价值

E = 5 000 000·€8.00 = €40 000 000

D = 40 000·€1 020 = €40 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.3·6.5% = 11.95%

权重

V = €80 800 000, E/V = 0.495, D/V = 0.505

WACC

WACC = 0.495·11.95% + 0.505·3.5%·(1 − 0.258) = 7.227%

答案

WACC = 7.227%

9.描述统计

答案: s = 13.96

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 151/6 = 25.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.17)² + 8.833² + 3.833² + (−13.17)² + (−9.167)² + 21.83² = 974.8

标准差

s = √(974.8/5) = 13.96

答案

s = 13.96

10.描述统计

答案: P = 0.2119

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答案

P = 0.2119

11.概率

答案: Var(X) = 5.4

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.25 + 2·0.3 + 4·0.15 + 6·0.3 = 3

平方的均值

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.3 + 16·0.15 + 36·0.3 = 14.4

方差

Var(X) = 14.4 − 3² = 5.4

答案

Var(X) = 5.4

12.概率

答案: σ_Y = 2.82

X 的离散程度

μ = 2.25, Var(X) = 1.987, σ_X = 1.41

线性变换

σ_Y = |2|·1.41 = 2.82

答案

σ_Y = 2.82

均值确实会改变：E(Y) = 2·2.25 − 3 = 1.5。

13.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 100 kg, σ_T = 0.5·√4 = 1 kg

标准化

z = (99 − 100)/1 = −1

概率

P = Φ(−1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

14.正态分布

答案: x = 527 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 500 + 0.67·40 = 527 h

答案

x = 527 h

15.置信区间

答案: 上限 = 77.43

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 2.797

误差范围

E = 2.797·11.5/√25 = 6.433

区间

71 ± 6.433 → [64.57, 77.43]

答案

上限 = 77.43

16.置信区间

答案: n = 384

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.15·0.85/0.03² = 383.4

向上取整

n = 384

答案

n = 384

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.08379

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 24/√144 = 2

z = (252.76 − 250)/2 = 1.38

尾部面积

Φ(1.38) = 0.9162

1 − Φ(1.38) = 0.0838

p 值

p = 0.08379

答案

p = 0.08379

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 50.46

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·8/√81 = 1.742

区间端点

L = 52.2 − 1.742 = 50.46

答案

L = 50.46

19.线性回归与相关

答案: r = 0.987

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 113/6 = 18.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 169

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 418.8

答案

r = 0.987

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 18.15

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

回归直线

b = −29/10 = −2.9

a = 19.6 − (−2.9)·3 = 28.3

ŷ = 28.3 − 2.9·x

预测

ŷ = 28.3 + (−2.9)·3.5 = 18.15

答案

ŷ = 18.15

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income