货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €12 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €12 000g = 1%r = 5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €300 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 2 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €300 0004.8% / 12N = 300k = 24
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€17 000, €13 000, €16 000, €13 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 17 000CF2 = 13 000CF3 = 16 000CF4 = 13 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €3 500, €2 500。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €6 000, €7 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −10 000, 5 500, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 7 500
r* = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 3 年的债券（面值 €1 000，年票息 4.5%）到期收益率为 8% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 9.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 3y0 = 8%y1 = 9.5%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 040。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €8 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 12.79%，税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。求股权资本成本 re。
E = €8 000 000D = €1 000 000WACC = 12.79%rd = 4.5%T = 30%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €12 000 000，股权资本成本为 13%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 4 年），每张交易价格为 €1 053。税率为 21%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €12 000 000re = 13%债券: 4 000 × €1 053票面利率 = 7%n = 4T = 21%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：46, 52, 31, 13, 10。
n = 5
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值高于 524 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 40x = 524
P =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.05, 0.3, 0.3
σ =
12.概率困难
X 的分布如图所示，Y = 2X + 20。求 Y 的标准差 σY。
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.05, 0.25, 0.35Y = 2X + 20
σY =
13.正态分布中等
X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 754.9 g 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 754.9 g
P =
14.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 25%
x = 分
15.置信区间中等
一个包含 13 个个体的样本，均值为 64，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。
n = 13x̄ = 64s = 7.590%t(12) = 1.782
上限 =
16.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：5 块地，平均产量 79.5 kg，标准差 6.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 69.5 kg，标准差 4 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。
n₁ = 5x̄₁ = 79.5s₁ = 6.5n₂ = 9x̄₂ = 69.5s₂ = 499%t(12) = 3.055
上限 = kg
17.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 142 mm，该生产线的已知标准差为 4 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 144.1 mm，已知标准差为 4 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 30x̄₁ = 142 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 80x̄₂ = 144.1 mmσ₂ = 4 mm
z =
18.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 3 个单位的偏移。标准差为 6。求最小样本量 n。
α = 0.05功效 = 95%δ = 3σ = 6zα = 1.645zβ = 1.645
n =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 36Σy = 230Σx² = 286Σy² = 9134Σxy = 1528
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 7 时的 ŷ。
n = 5x = 7
ŷ =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 300000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.05 − 0.01) = 12 000/0.04 = €300 000.00
答案
PV = €300 000.00
2.货币的时间价值
答案: B = 286954 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.004, N = 300
A = 300 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−300) = €1 718.99
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 300 − 24 = 276
B = 1719·(1 − (1 + 0.004)−276)/0.004 = €286 954.09
答案
B = €286 954.09
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 2099 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 17 000/1.1 = 15 454.55
CF2/(1 + 0.1)2 = 13 000/1.21 = 10 743.80
CF3/(1 + 0.1)3 = 16 000/1.331 = 12 021.04
CF4/(1 + 0.1)4 = 13 000/1.464 = 8 879.17
相加
NPV = €2 098.56
答案
NPV = €2 098.56
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 6.054 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 6 000 − 3 500 = 2 500
ΔCF3 = 7 500 − 2 500 = 5 000
差额的 IRR
NPVΔ(6%) = 7.99
NPVΔ(7%) = −136.78
r* = 6.054%
答案
r* = 6.054%
校核：在 6.054% 时两个 NPV 都是 €393.65。
5.债券定价与收益率
答案: HPR = 5.258 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €45.00, i = 0.08, N = 3
€45.00·(1 − 0.7938)/0.08 + €1 000·0.7938 = €115.97 + €793.83 = €909.80
卖出价
C = €45.00, i = 0.095, N = 2
€45.00·(1 − 0.834)/0.095 + €1 000·0.834 = €78.63 + €834.01 = €912.64
持有期收益率
HPR = (45 + 912.64 − 909.80)/909.80 = 5.258%
答案
HPR = 5.258%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.57 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(3%) = €1 056.57, P(4%) = €1 027.75
YTM = 3.57%
答案
YTM = 3.57%
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 14 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111
WACC 中的债务部分
0.1111·4.5%·(1 − 0.3) = 0.35%
股权成本
re = (12.79% − 0.35%)/0.8889 = 14%
答案
re = 14%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.75 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
1053 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1000/(1 + y)4
y = 5.488%
市场价值
D = 4 000·€1 053 = €4 212 000
V = €16 212 000, E/V = 0.7402, D/V = 0.2598
WACC
WACC = 0.7402·13% + 0.2598·5.488%·(1 − 0.21) = 10.75%
答案
WACC = 10.75%
9.描述统计
答案: s = 18.9
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 152/5 = 30.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 15.6² + 21.6² + 0.6² + (−17.4)² + (−20.4)² = 1429
标准差
s = √(1429/4) = 18.9
答案
s = 18.9
10.描述统计
答案: P = 0.2743
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = 0.6
标准正态分布表
Φ(0.6) = 0.7257
P = 1 − 0.7257 = 0.2743
答案
P = 0.2743
11.概率
答案: σ = 1.244
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.05 + 2·0.3 + 3·0.3 = 1.55
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.05 + 4·0.3 + 9·0.3 = 3.95
方差
Var(X) = 3.95 − 1.55² = 1.548
σ = √1.548 = 1.244
答案
σ = 1.244
12.概率
答案: σY = 5.122
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
X 的离散程度
μ = 3.2, Var(X) = 6.56, σX = 2.561
线性变换
σY = |2|·2.561 = 5.122
答案
σY = 5.122
均值确实会改变：E(Y) = 2·3.2 + 20 = 26.4。
13.正态分布
答案: P = 0.3085
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g
标准化
z = (754.9 − 750)/9.849 = 0.5
上尾
P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085
答案
P = 0.3085
14.正态分布
答案: x = 58.26 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
换算回 x
x = 65 + −0.6745·10 = 58.26 分
答案
x = 58.26 分
15.置信区间
答案: 上限 = 67.71
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 12, t = 1.782
误差范围
E = 1.782·7.5/√13 = 3.707
区间
64 ± 3.707 → [60.29, 67.71]
答案
上限 = 67.71
16.置信区间
答案: 上限 = 18.48 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (4·6.5² + 8·4²)/12 = 24.75
sp = 4.975
误差范围
E = 3.055·4.975·√(1/5 + 1/9) = 8.477
区间
10 ± 8.477 → [1.523, 18.48]
答案
上限 = 18.48 kg
17.假设检验与置信区间
答案: z = −2.452
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(4²/30 + 4²/80) = √0.7333 = 0.8563
检验统计量
z = (142 − 144.1)/0.8563 = −2.452
答案
z = −2.452
|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: n = 44
检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。
解出 n
n = ((1.645 + 1.645)·6/3)² = 43.3
向上取整
n = 44
答案
n = 44
19.线性回归与相关
答案: r = 0.993
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 1528 − 36·230/6 = 148
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 9134 − 230²/6 = 317.3
相关系数
r = 148/√(70·317.3) = 0.993
答案
r = 0.993
20.线性回归与相关
答案: ŷ = 83.3
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 382/5 = 76.4
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 276
回归直线
b = 276/40 = 6.9
a = 76.4 − 6.9·6 = 35
ŷ = 35 + 6.9·x
预测
ŷ = 35 + 6.9·7 = 83.3
答案
ŷ = 83.3
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