CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €40 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0006% / 12n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0003% / 12N = 48

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000。它在 6 年内每年年末产生 €13 500，之后可以以 €9 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €60 000CF = €13 500S = €9 000n = 6r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €12 000, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 15 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 7%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 6 年后到期，售价为 €910。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6P = €910

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.5 的股票要求回报为 14.5%。无风险利率为 4%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.5r_e = 14.5%r_f = 4%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.25 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 1.25。税率为 25.8%，无风险利率为 1.5%，市场风险溢价为 7%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.25D/E₂ = 1.25T = 25.8%r_f = 1.5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：33, 11, 48, 49, 43, 44, 16。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。数值高于 162 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 8x = 162

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.3, 0.2, 0.35

σ =

12.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.2k = 3

P =

13.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 819 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 819 kg

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 8.5。用同样的数据计算 90% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 36E₁ = 8.590%

E₂ =

16.置信区间困难

总体标准差为 12。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1.5？

σ = 12E = 1.595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 193，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 193s = 20n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 121.4。总体标准差为 5。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 121.4σ = 5n = 4990%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 132Σx² = 220Σy² = 4080Σxy = 946

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4.5, 27)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4.5, 27)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 24781 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·8 = 96

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.614 = €24 780.96

答案

PV = €24 780.96

2.货币的时间价值

答案: A = 442.7 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8871

A = 20 000·0.0025/(1 − 0.8871) = €442.69

答案

A = €442.69

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 8080 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

13 500·4.623 = 62 408.88

残值的现值

9 000/1.587 = 5 671.53

NPV

NPV = −60 000 + 62 408.88 + 5 671.53 = €8 080.40

答案

NPV = €8 080.40

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 21.65 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 416.67

NPV(25%) = −800.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·416.67/(416.67 − (−800.00)) = 21.71%

精确: NPV(21.65%) = 0 → IRR = 21.65%

答案

IRR = 21.65%

5.债券定价与收益率

答案: P = 758.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.035, N = 16

票息的现值

€15.00·(1 − 0.5767)/0.035 = €181.41

面值的现值

€1 000·0.5767 = €576.71

价格

P = €758.12

答案

P = €758.12

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 7.944 %

收益率方程

€910 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(7%) = €952.33, P(8%) = €907.54

YTM = 7.944%

答案

YTM = 7.944%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (14.5% − 4%)/1.5 = 7%

市场回报

r_m = 4% + 7% = 11%

答案

r_m = 11%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 17.43 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.742·0.25) = 1.181

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.181·(1 + 0.742·1.25) = 2.276

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 2.276·7% = 17.43%

答案

r_e = 17.43%

9.描述统计

答案: s = 15.55

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 244/7 = 34.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−1.857)² + (−23.86)² + 13.14² + 14.14² + 8.143² + 9.143² + (−18.86)² = 1451

标准差

s = √(1451/6) = 15.55

答案

s = 15.55

10.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

11.概率

答案: σ = 2.179

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.15 + 2·0.3 + 4·0.2 + 6·0.35 = 3.5

平方的均值

E(X²) = 0·0.15 + 4·0.3 + 16·0.2 + 36·0.35 = 17

方差

Var(X) = 17 − 3.5² = 4.75

σ = √4.75 = 2.179

答案

σ = 2.179

12.概率

答案: P = 0.08192

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 3) = 20·0.2³·0.8³ = 20·0.008·0.512 = 0.08192

答案

P = 0.08192

13.正态分布

答案: P = 0.06681

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

标准化

z = (819 − 765)/36 = 1.5

概率

P = 1 − Φ(1.5) = 0.06681

答案

P = 0.06681

14.正态分布

答案: P = 0.8264

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

概率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答案

P = 0.8264

15.置信区间

答案: E₂ = 5.428

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(36/36) = 0.6386

新的误差范围

E₂ = 8.5·0.6386 = 5.428

答案

E₂ = 5.428

16.置信区间

答案: n = 246

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·12/1.5)² = 245.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 246

答案

n = 246

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

检验统计量

t = (193 − 200)/5 = −1.4

答案

t = −1.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 122.6

误差范围

E = 1.645·5/√49 = 1.175

区间端点

U = 121.4 + 1.175 = 122.6

答案

U = 122.6

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9981

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 946 − 30·132/5 = 154

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 4080 − 132²/5 = 595.2

答案

r = 0.9981

20.线性回归与相关

答案: e = 3.9

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 126/5 = 25.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

回归直线

b = −14/10 = −1.4

a = 25.2 − (−1.4)·3 = 29.4

ŷ = 29.4 − 1.4·x

预测值

ŷ = 29.4 + (−1.4)·4.5 = 23.1

残差

e = 27 − 23.1 = 3.9

答案

e = 3.9

该点位于直线上方。

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