CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 17 年。年利率为 3%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 3%n = 17

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在第 15 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0004.2% / 12N = 240k = 180

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€13 000, €19 000, €15 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 19 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €25 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €10 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €25 000CF = €10 000n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 3%n = 10

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 4P = €1 055

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €46.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 5.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 1.5%r_m = 5.5%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：27, 52, 26, 17, 44, 53, 42。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 15。求成绩 52.5 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 15x = 52.5

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.05, 0.3, 0.35

Var(X) =

12.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.25

P =

13.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 157.6 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 4> 157.6 g

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 60% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm60%

x = cm

15.置信区间中等

一个包含 6 个个体的样本，均值为 10，标准差 s = 8.5。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 6x̄ = 10s = 8.595%t(5) = 2.571

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 18E = 299%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 502.9，样本标准差为 4。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 502.9s = 4n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ > 500 进行单侧 z 检验；已知标准差为 30。实际上均值为 507.2。求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 507.2σ = 30n = 100α = 0.10

1 − β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 72Σx² = 220Σy² = 1258Σxy = 524

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (6.5, 88)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(6.5, 88)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6583 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.605)/0.03 = 13.17

现值

PV = 500·13.17 = €6 583.06

答案

PV = €6 583.06

2.货币的时间价值

答案: B = 99947 €

月供

i = 0.0035, N = 240

A = 300 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)⁻²⁴⁰) = €1 849.71

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 180 = 60

B = 1850·(1 − (1 + 0.0035)⁻⁶⁰)/0.0035 = €99 947.09

答案

B = €99 947.09

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7569 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 13 000/1.12 = 11 607.14

CF₂/(1 + 0.12)² = 19 000/1.254 = 15 146.68

CF₃/(1 + 0.12)³ = 15 000/1.405 = 10 676.70

相加

NPV = €−7 569.47

答案

NPV = €−7 569.47

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.701 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 25 000/10 000 = 2.5

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 9%: 2.531

i = 10%: 2.487

IRR = 9.701%

答案

IRR = 9.701%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1129 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.015, N = 20

票息的现值

€22.50·(1 − 0.7425)/0.015 = €386.29

面值的现值

€1 000·0.7425 = €742.47

价格

P = €1 128.76

答案

P = €1 128.76

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 2.537 %

收益率方程

€1 055 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(2%) = €1 076.15, P(3%) = €1 037.17

YTM = 2.537%

答案

YTM = 2.537%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.199 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €18 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.258) = 8.199%

答案

WACC = 8.199%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.852 %

市场价值

E = 4 000 000·€46.00 = €184 000 000

D = 40 000·€980 = €39 200 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.2·4% = 6.3%

权重

V = €223 200 000, E/V = 0.8244, D/V = 0.1756

WACC

WACC = 0.8244·6.3% + 0.1756·5%·(1 − 0.25) = 5.852%

答案

WACC = 5.852%

9.描述统计

答案: s = 14

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 261/7 = 37.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10.29)² + 14.71² + (−11.29)² + (−20.29)² + 6.714² + 15.71² + 4.714² = 1175

标准差

s = √(1175/6) = 14

答案

s = 14

10.描述统计

答案: z = −0.5

标准化

z = (52.5 − 60)/15 = −0.5

答案

z = −0.5

11.概率

答案: Var(X) = 1.51

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.3 + 4·0.35 = 2.7

平方的均值

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.3 + 16·0.35 = 8.8

方差

Var(X) = 8.8 − 2.7² = 1.51

答案

Var(X) = 1.51

12.概率

答案: P = 0.4449

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁷ = 0.1335

P(X = 1) = 7·0.25·0.75⁶ = 0.3115

相加

P = 0.1335 + 0.3115 = 0.4449

答案

P = 0.4449

13.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 160 g, σ_T = 1.2·√4 = 2.4 g

标准化

z = (157.6 − 160)/2.4 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

14.正态分布

答案: x = 176.3 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.4

由表得到的 z

z ≈ −0.25

回到原来的单位

x = 178 − 0.25·7 = 176.3 cm

答案

x = 176.3 cm

15.置信区间

答案: E = 8.922

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 5, t = 2.571

误差范围

E = 2.571·8.5/√6 = 8.922

答案

E = 8.922

16.置信区间

答案: n = 538

解出 n

n = (2.576·18/2)² = 537.5

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 538

答案

n = 538

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

检验统计量

t = (502.9 − 500)/1 = 2.9

答案

t = 2.9

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 86.82 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 500 + 1.282·3 = 503.8

真实均值下的 z

z = (503.8 − 507.2)/3 = −1.118

功率

功效 = P(Z > −1.118) = 86.82%

1 − β = 86.82%

答案

1 − β = 86.82%

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9781

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 524 − 30·72/5 = 92

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1258 − 72²/5 = 221.2

答案

r = 0.9781

20.线性回归与相关

答案: e = 4.05

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 374/5 = 74.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61

回归直线

b = 61/10 = 6.1

a = 74.8 − 6.1·5 = 44.3

ŷ = 44.3 + 6.1·x

预测值

ŷ = 44.3 + 6.1·6.5 = 83.95

残差

e = 88 − 83.95 = 4.05

答案

e = 4.05

该点位于直线上方。

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