CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €5 000，共 19 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。

A = €5 000i = 5%n = 19

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 6 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 5.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €10 0005.4% / 12N = 72

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€11 000, €7 000, €10 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 7 000CF₃ = 10 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €24 000，之后每年增长 3%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €24 000g = 3%n = 10r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 7 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 222。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 7P = €1 222YTM = 2.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 7%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5YTM = 7%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 7%，税率为 20%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 11%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €46.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2%r_m = 9%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：35, 24, 44, 13, 56。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值高于 60 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 20x = 60

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.3, 0.3, 0.05

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = −2X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35Y = −2X + 5

σ_Y =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9699。求 z，保留两位小数。

A = 0.9699

z =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 85% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分85%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 73，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 13x̄ = 73s = 16.599%t(12) = 3.055

E =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：7 块地，平均产量 84.5 kg，标准差 7 kg。地块组 2：9 块地，均值 87.5 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 7x̄₁ = 84.5s₁ = 7n₂ = 9x̄₂ = 87.5s₂ = 4.599%t(14) = 2.977

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 60.88，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 60.88s = 15n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

100 次测量的样本均值为 77.4。总体标准差为 20。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 77.4σ = 20n = 10090%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 6Σx = 42Σy = 114Σx² = 364Σy² = 2648Σxy = 980

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (10, 50)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(10, 50)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 60427 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3957)/0.05 = 12.09

现值

PV = 5 000·12.09 = €60 426.60

答案

PV = €60 426.60

2.货币的时间价值

答案: A = 117.9 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·6 = 72

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 10 000·0.0045/(1.382 − 1) = €117.91

答案

A = €117.91

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −7480 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 11 000/1.12 = 9 821.43

CF₂/(1 + 0.12)² = 7 000/1.254 = 5 580.36

CF₃/(1 + 0.12)³ = 10 000/1.405 = 7 117.80

相加

NPV = €−7 480.41

答案

NPV = €−7 480.41

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −34790 €

增长型年金的现值

((1.03)/(1.1))¹⁰ = 0.5181

PV = 24 000/(0.1 − 0.03)·(1 − 0.5181) = 165 209.85

NPV

NPV = 165 209.85 − 200 000 = −€34 790.15

答案

NPV = −€34 790.15

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: c = 5.996 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻⁷ = €841.27

票息

C = (1222 − 841.27)/6.349 = €59.96

票面利率

c = 59.96/1000 = 5.996%

答案

c = 5.996%

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.523 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 50/1.07 = 46.73, t·PV = 46.73

t = 2: 50/1.145 = 43.67, t·PV = 87.34

t = 3: 50/1.225 = 40.81, t·PV = 122.44

t = 4: 50/1.311 = 38.14, t·PV = 152.58

t = 5: 1050/1.403 = 748.64, t·PV = 3 743.18

久期

P = 918.00

D = 4 152.27/918.00 = 4.523

答案

D = 4.523 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.92 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·11% + 0.2·7%·(1 − 0.2) = 9.92%

答案

WACC = 9.92%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.7 %

市场价值

E = 5 000 000·€46.50 = €232 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.5·7% = 12.5%

权重

V = €252 100 000, E/V = 0.9223, D/V = 0.07775

WACC

WACC = 0.9223·12.5% + 0.07775·3%·(1 − 0.28) = 11.7%

答案

WACC = 11.7%

9.描述统计

答案: s = 16.77

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 172/5 = 34.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 0.6² + (−10.4)² + 9.6² + (−21.4)² + 21.6² = 1125

标准差

s = √(1125/4) = 16.77

答案

s = 16.77

10.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

答案

P = 0.9772

11.概率

答案: Var(X) = 3.39

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.3 + 4·0.3 + 6·0.05 = 2.1

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.3 + 16·0.3 + 36·0.05 = 7.8

方差

Var(X) = 7.8 − 2.1² = 3.39

答案

Var(X) = 3.39

12.概率

答案: σ_Y = 1.947

X 的离散程度

μ = 1.95, Var(X) = 0.9475, σ_X = 0.9734

线性变换

σ_Y = |−2|·0.9734 = 1.947

答案

σ_Y = 1.947

均值确实会改变：E(Y) = −2·1.95 + 5 = 1.1。

13.正态分布

答案: z = −1.88

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9699 = 0.0301

反向查 z 表

在表中找到 0.0301，读出 z。

z = −1.88

答案

z = −1.88

14.正态分布

答案: x = 54.6 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.15

由表得到的 z

z ≈ −1.04

回到原来的单位

x = 65 − 1.04·10 = 54.6 分

答案

x = 54.6 分

15.置信区间

答案: E = 13.98

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 3.055

误差范围

E = 3.055·16.5/√13 = 13.98

答案

E = 13.98

16.置信区间

答案: E = 8.562 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (6·7² + 8·4.5²)/14 = 32.57

s_p = 5.707

误差范围

E = 2.977·5.707·√(1/7 + 1/9) = 8.562

答案

E = 8.562 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.901

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√16 = 15/4 = 3.75

检验统计量

t = (60.88 − 50)/3.75 = 2.901

答案

t = 2.901

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| > 2.131，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 74.11

误差范围

E = 1.645·20/√100 = 3.29

区间端点

L = 77.4 − 3.29 = 74.11

答案

L = 74.11

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9908

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 980 − 42·114/6 = 182

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2648 − 114²/6 = 482

答案

r = 0.9908

20.线性回归与相关

答案: e = −3.871

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 297/6 = 49.5

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 153

回归直线

b = 153/70 = 2.186

a = 49.5 − 2.186·8 = 32.01

ŷ = 32.01 + 2.186·x

预测值

ŷ = 32.01 + 2.186·10 = 53.87

残差

e = 50 − 53.87 = −3.871

答案

e = −3.871

该点位于直线下方。

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