CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €50 000。某账户年利率 3%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0003% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 17 年后得到 €30 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €30 0003.6% / 12N = 204

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 5 年内每年年末产生 €6 500，之后可以以 €4 500 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €6 500S = €4 500n = 5r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €18 500, €19 000, €22 500。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 18 500CF₂ = 19 000CF₃ = 22 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 2.5% 变为 4%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 9y₁ = 2.5%y₂ = 4%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 6%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 2%n = 4YTM = 6%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 5%，税率为 30%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 10%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €59.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3%r_m = 8.5%r_d = 4.5%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：60, 31, 32, 22, 36。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。求成绩 64 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 12x = 64

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

σ =

12.概率困难

测试 10 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.4

P =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 60 和 77.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 60x₂ = 77.5

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

15.置信区间中等

测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −9，标准差为 4.8。求平均差值的 90% 置信区间的下限。

n = 11d̄ = −9s_d = 4.890%t(10) = 1.812

下限 = mmHg

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：19 块地，平均产量 59 kg，标准差 7 kg。地块组 2：12 块地，均值 63 kg，标准差 5.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 19x̄₁ = 59s₁ = 7n₂ = 12x̄₂ = 63s₂ = 5.590%t(29) = 1.699

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 123.4，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 123.4s = 10n = 25

t =

18.假设检验与置信区间困难

36 次测量的样本均值为 200.5。总体标准差为 8。求均值 95% 置信区间的上限 U。

x̄ = 200.5σ = 8n = 3695%

U =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 36？

n = 6ŷ = 36

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 40540 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.233 = €40 539.83

答案

PV = €40 539.83

2.货币的时间价值

答案: A = 106.8 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·17 = 204

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.003/(1.842 − 1) = €106.83

答案

A = €106.83

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4016 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

6 500·3.605 = 23 431.05

残值的现值

4 500/1.762 = 2 553.42

NPV

NPV = −30 000 + 23 431.05 + 2 553.42 = −€4 015.53

答案

NPV = −€4 015.53

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 17.32 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

18 500·1.08² = 21 578.40

19 000·1.08¹ = 20 520.00

22 500·1.08⁰ = 22 500.00

TV = 64 598.40

MIRR

MIRR = (64 598.40/40 000)^1/3 − 1 = 17.32%

答案

MIRR = 17.32%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −141 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.025, N = 9

€80.00·(1 − 0.8007)/0.025 + €1 000·0.8007 = €637.67 + €800.73 = €1 438.40

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.04, N = 9

€80.00·(1 − 0.7026)/0.04 + €1 000·0.7026 = €594.83 + €702.59 = €1 297.41

变化

ΔP = 1 297.41 − 1 438.40 = −€140.98

答案

ΔP = −€140.98

6.债券定价与收益率

答案: D = 3.873 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 20/1.06 = 18.87, t·PV = 18.87

t = 2: 20/1.124 = 17.80, t·PV = 35.60

t = 3: 20/1.191 = 16.79, t·PV = 50.38

t = 4: 1020/1.262 = 807.94, t·PV = 3 231.74

久期

P = 861.40

D = 3 336.59/861.40 = 3.873

答案

D = 3.873 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.833 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10% + 0.3333·5%·(1 − 0.3) = 7.833%

答案

WACC = 7.833%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.094 %

市场价值

E = 2 000 000·€59.50 = €119 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.8·5.5% = 7.4%

权重

V = €128 800 000, E/V = 0.9239, D/V = 0.07609

WACC

WACC = 0.9239·7.4% + 0.07609·4.5%·(1 − 0.25) = 7.094%

答案

WACC = 7.094%

9.描述统计

答案: s = 14.25

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 181/5 = 36.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 23.8² + (−5.2)² + (−4.2)² + (−14.2)² + (−0.2)² = 812.8

标准差

s = √(812.8/4) = 14.25

答案

s = 14.25

10.描述统计

答案: z = −0.5

标准化

z = (64 − 70)/12 = −0.5

答案

z = −0.5

11.概率

答案: σ = 0.8367

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

方差

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

σ = √0.7 = 0.8367

答案

σ = 0.8367

12.概率

答案: P = 0.04636

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6¹⁰ = 0.006047

P(X = 1) = 10·0.4·0.6⁹ = 0.04031

相加

P = 0.006047 + 0.04031 = 0.04636

答案

P = 0.04636

13.正态分布

答案: P = 0.5858

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (60 − 65)/10 = −0.5

z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25

中间面积

P = Φ(1.25) − Φ(−0.5) = 0.8944 − 0.3085 = 0.5858

答案

P = 0.5858

14.正态分布

答案: x = 448.7 h

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

答案

x = 448.74 h

15.置信区间

答案: 下限 = −11.62 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 10, t = 1.812

误差范围

E = 1.812·4.8/√11 = 2.622

区间

−9 ± 2.622 → [−11.62, −6.378]

答案

下限 = −11.62 mmHg

16.置信区间

答案: 下限 = −8.055 kg

合并标准差

s_p² = (18·7² + 11·5.5²)/29 = 41.89

s_p = 6.472

误差范围

E = 1.699·6.472·√(1/19 + 1/12) = 4.055

区间

−4 ± 4.055 → [−8.055, 0.05463]

答案

下限 = −8.055 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

检验统计量

t = (123.4 − 120)/2 = 1.7

答案

t = 1.7

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: U = 203.1

误差范围

E = 1.96·8/√36 = 2.613

区间端点

U = 200.5 + 2.613 = 203.1

答案

U = 203.1

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9573

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 311/5 = 62.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 942.8

决定系数

r² = 190²/(40·942.8) = 0.9573

答案

r² = 0.9573

y 的变异中约有 95.73% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: x = 1.528

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 263/6 = 43.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 69.5

回归直线

b = 69.5/17.5 = 3.971

a = 43.83 − 3.971·3.5 = 29.93

ŷ = 29.93 + 3.971·x

解出 x

x = (36 − 29.93)/3.971 = 1.528

答案

x = 1.528

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