CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €10 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0006% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €250 000 的抵押贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在第 10 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €250 0003% / 12N = 240k = 120

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000，使用 4 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €80 000M = €2 000n = 4r = 12%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €33 500, €24 500, €33 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 33 500CF₂ = 24 500CF₃ = 33 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 3 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 129。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 3P = €1 129YTM = 2.5%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 060，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 5.9 年。如果收益率下降 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 060y = 6%D = 5.9Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €50.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 3%r_m = 9.5%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：34, 50, 11, 21, 49, 53。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。数值低于 38 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 8x = 38

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 6

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €8，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€8: p = 0.15€100: p = 0.05

E(G) = €

13.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 247.75 和 260 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 247.75x₂ = 260

P =

14.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

15.置信区间中等

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 69.5 h，已知标准差 19 h。型号 2：40 部手机，均值 65.5 h，已知标准差 11 h。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 50x̄₁ = 69.5 hσ₁ = 19 hn₂ = 40x̄₂ = 65.5 hσ₂ = 11 h99%

下限 = h

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 53 kg，标准差 5.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 51.5 kg，标准差 5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 6x̄₁ = 53s₁ = 5.5n₂ = 6x̄₂ = 51.5s₂ = 595%t(10) = 2.228

E = kg

17.假设检验与置信区间中等

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：100 个零件的样本平均长度为 141.5 mm，该生产线的已知标准差为 10 mm。生产线 2：80 个零件的样本均值为 134 mm，已知标准差为 19 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 141.5 mmσ₁ = 10 mmn₂ = 80x̄₂ = 134 mmσ₂ = 19 mm

z =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 50.1。总体标准差为 4。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 50.1σ = 4n = 4990%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 54？

n = 5ŷ = 54

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 6577 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.52 = €6 577.35

答案

PV = €6 577.35

2.货币的时间价值

答案: B = 143588 €

月供

i = 0.0025, N = 240

A = 250 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)⁻²⁴⁰) = €1 386.49

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 240 − 120 = 120

B = 1386·(1 − (1 + 0.0025)⁻¹²⁰)/0.0025 = €143 587.75

答案

B = €143 587.75

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 28339 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12⁻⁴)/0.12 = 3.037

年化购置价格

80 000/3.037 = 26 338.75

EAC

EAC = 26 338.75 + 2 000 = €28 338.75

答案

EAC = €28 338.75

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 37.53 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(35%) = 1 670.48

NPV(40%) = −1 545.19

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 35 + 5·1 670.48/(1 670.48 − (−1 545.19)) = 37.6%

精确: NPV(37.53%) = 0 → IRR = 37.53%

答案

IRR = 37.53%

5.债券定价与收益率

答案: c = 7.017 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.025)⁻³ = €928.60

票息

C = (1129 − 928.60)/2.856 = €70.17

票面利率

c = 70.17/1000 = 7.017%

答案

c = 7.017%

6.债券定价与收益率

答案: P = 1104 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 5.9/1.06 = 5.566

估计的价格变化

%ΔP ≈ −5.566·(−0.0075) = 4.175%

P ≈ 1060·(1 + 0.04175) = €1 104.25

答案

P = €1 104.25

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.875 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·8% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 5.875%

答案

WACC = 5.875%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.536 %

市场价值

E = 1 000 000·€50.50 = €50 500 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.2·6.5% = 10.8%

权重

V = €60 500 000, E/V = 0.8347, D/V = 0.1653

WACC

WACC = 0.8347·10.8% + 0.1653·4.5%·(1 − 0.3) = 9.536%

答案

WACC = 9.536%

9.描述统计

答案: s = 17.36

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 218/6 = 36.33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−2.333)² + 13.67² + (−25.33)² + (−15.33)² + 12.67² + 16.67² = 1507

标准差

s = √(1507/5) = 17.36

答案

s = 17.36

10.描述统计

答案: P = 0.06681

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

答案

P = 0.06681

11.概率

答案: P = 0.6651

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

答案

P = 0.6651

12.概率

答案: E(G) = 4.2 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 6 (p = 0.15), 98 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 6·0.15 + 98·0.05 − 2·0.8 = 4.2 €

答案

E(G) = 4.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.6509

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (247.75 − 250)/5 = −0.45

z₂ = (260 − 250)/5 = 2

中间面积

P = Φ(2) − Φ(−0.45) = 0.9772 − 0.3264 = 0.6509

答案

P = 0.6509

14.正态分布

答案: x = 183.9 cm

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm

答案

x = 183.89 cm

15.置信区间

答案: 下限 = −4.245 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 69.5 − 65.5 = 4

标准误

SE = √(19²/50 + 11²/40) = 3.201

误差范围

E = 2.576·3.201 = 8.245

区间

4 ± 8.245 → [−4.245, 12.25]

答案

下限 = −4.245 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

16.置信区间

答案: E = 6.761 kg

合并标准差

s_p² = (5·5.5² + 5·5²)/10 = 27.63

s_p = 5.256

误差范围

E = 2.228·5.256·√(1/6 + 1/6) = 6.761

答案

E = 6.761 kg

17.假设检验与置信区间

答案: z = 3.194

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(10²/100 + 19²/80) = √5.513 = 2.348

检验统计量

z = (141.5 − 134)/2.348 = 3.194

答案

z = 3.194

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 49.16

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·4/√49 = 0.94

区间端点

L = 50.1 − 0.94 = 49.16

答案

L = 49.16

19.线性回归与相关

答案: r = −0.9914

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 106/6 = 17.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −50

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 145.3

答案

r = −0.9914

20.线性回归与相关

答案: x = 4.4

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 256/5 = 51.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 20

回归直线

b = 20/10 = 2

a = 51.2 − 2·3 = 45.2

ŷ = 45.2 + 2·x

解出 x

x = (54 − 45.2)/2 = 4.4

答案

x = 4.4

本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income