CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €20 000。求 13 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 6%t = 13

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 3% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €600。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €20 000A = €6003% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 4 年内每年年末产生 €11 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €11 500S = €10 000n = 4r = 10%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €15 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €15 000n = 5

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 5.5%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，6 年后到期。其售价为 €765。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 6P = €765

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €38.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 2%，市场回报率为 6%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 2%r_m = 6%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：16, 54, 52, 23, 27, 36。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值低于 164 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 12x = 164

P =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.05, 0.35, 0.25

Var(X) =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.25 赢得 €25，以概率 0.02 赢得 €50；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€25: p = 0.25€50: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8165。求 z，保留两位小数。

A = 0.8165

z =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 8 个个体的样本，均值为 74，标准差 s = 3。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 8x̄ = 74s = 390%t(7) = 1.895

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 35E = 395%

n =

17.假设检验与置信区间中等

49 名学生的样本平均分为 73.14，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。

μ₀ = 75x̄ = 73.14s = 5n = 49

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 10。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 80%δ = 4σ = 10z_α = 2.326z_β = 0.842

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 446Σx² = 220Σy² = 41186Σxy = 2912

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 6x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 43629 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·13 = 0.78

e^0.78 = 2.181

终值

FV = 20 000·2.181 = €43 629.45

答案

FV = €43 629.45

2.货币的时间价值

答案: N = 35 次还款

将年金公式变形

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0.0025/600 = 0.9167

用对数求解

N = −ln(0.9167)/ln(1.002) = 34.85

向上取整到整次还款

34 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 35

答案

N = 35 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3284 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

11 500·3.17 = 36 453.45

残值的现值

10 000/1.464 = 6 830.13

NPV

NPV = −40 000 + 36 453.45 + 6 830.13 = €3 283.59

答案

NPV = €3 283.59

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.24 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 50 000/15 000 = 3.333

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 3.352

i = 16%: 3.274

IRR = 15.24%

答案

IRR = 15.24%

5.债券定价与收益率

答案: P = 856.4 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0275, N = 14

票息的现值

€15.00·(1 − 0.684)/0.0275 = €172.37

面值的现值

€1 000·0.684 = €684.00

价格

P = €856.36

答案

P = €856.36

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.009 %

每期

C = €15.00, N = 12

数值求解

i = 4.005% 每半年

YTM

YTM = 2·4.005% = 8.009%

答案

YTM = 8.009%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.219 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625

WACC

WACC = 0.375·13% + 0.625·5%·(1 − 0.25) = 7.219%

答案

WACC = 7.219%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.56 %

市场价值

E = 5 000 000·€38.50 = €192 500 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2% + 1.2·4% = 6.8%

权重

V = €212 100 000, E/V = 0.9076, D/V = 0.09241

WACC

WACC = 0.9076·6.8% + 0.09241·6%·(1 − 0.3) = 6.56%

答案

WACC = 6.56%

9.描述统计

答案: s = 15.62

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 208/6 = 34.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−18.67)² + 19.33² + 17.33² + (−11.67)² + (−7.667)² + 1.333² = 1219

标准差

s = √(1219/5) = 15.62

答案

s = 15.62

10.描述统计

答案: P = 0.3085

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

答案

P = 0.3085

11.概率

答案: Var(X) = 5.8

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 2·0.05 + 4·0.35 + 6·0.25 = 3

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.05 + 16·0.35 + 36·0.25 = 14.8

方差

Var(X) = 14.8 − 3² = 5.8

答案

Var(X) = 5.8

12.概率

答案: E(G) = 2.25 €

净结果

G: 20 (p = 0.25), 45 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 20·0.25 + 45·0.02 − 5·0.73 = 2.25 €

答案

E(G) = 2.25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: z = 1.33

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8165)/2 = 0.9082

反向查 z 表

在表中找到 0.9082，读出 z。

z = 1.33

答案

z = 1.33

14.正态分布

答案: x = 448.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

答案

x = 448.74 h

15.置信区间

答案: E = 2.01

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 7, t = 1.895

误差范围

E = 1.895·3/√8 = 2.01

答案

E = 2.01

16.置信区间

答案: n = 523

解出 n

n = (1.96·35/3)² = 522.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 523

答案

n = 523

17.假设检验与置信区间

答案: t = −2.604

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√49 = 5/7 = 0.7143

检验统计量

t = (73.14 − 75)/0.7143 = −2.604

答案

t = −2.604

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 63

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 0.842)·10/4)² = 62.73

向上取整

n = 63

答案

n = 63

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9963

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 2912 − 30·446/5 = 236

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 41186 − 446²/5 = 1403

答案

r = 0.9963

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 31.83

均值

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 191/6 = 31.83

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28.5

回归直线

b = 28.5/17.5 = 1.629

a = 31.83 − 1.629·3.5 = 26.13

ŷ = 26.13 + 1.629·x

预测

ŷ = 26.13 + 1.629·3.5 = 31.83

答案

ŷ = 31.83

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