CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €5 000。某账户年利率 3.6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0003.6% / 4n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €200。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2004.2% / 12N = 60

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€16 000, €11 000, €20 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −45 000CF₁ = 16 000CF₂ = 11 000CF₃ = 20 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €3 500, €2 500。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €6 500, €8 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 500, 8 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 5.5%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €960

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 11%。其债务由 8 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 12 年），每张交易价格为 €954。税率为 21%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 11%债券: 8 000 × €954票面利率 = 4%n = 12T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：11, 43, 52, 54, 52, 33, 32。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值低于 158 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 15x = 158

P =

11.概率中等

从 12 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 12k = 3

N =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.1 赢得 €25，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€25: p = 0.1€100: p = 0.01

E(G) = €

13.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 482 和 520 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 482x₂ = 520

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 5%

x = 分

15.置信区间中等

基于 36 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 3.1。用同样的数据计算 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 36E₁ = 3.195%

E₂ =

16.置信区间困难

总体标准差为 18。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 18E = 599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：19 名学生，平均分 107，标准差 4。第 2 组：12 名学生，平均分 105.6，标准差 6。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 19x̄₁ = 107s₁ = 4n₂ = 12x̄₂ = 105.6s₂ = 6

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 14。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 90%δ = 2σ = 14z_α = 1.645z_β = 1.282

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 111？

n = 5ŷ = 111

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4490 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/4 = 0.009

N = 4·3 = 12

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.114 = €4 490.31

答案

PV = €4 490.31

2.货币的时间价值

答案: FV = 13327 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.233 − 1)/0.0035 = €13 327.19

答案

FV = €13 327.19

你自己存入了 €12 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −4878 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 16 000/1.08 = 14 814.81

CF₂/(1 + 0.08)² = 11 000/1.166 = 9 430.73

CF₃/(1 + 0.08)³ = 20 000/1.26 = 15 876.64

相加

NPV = €−4 877.81

答案

NPV = €−4 877.81

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.574 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 500 − 3 500 = 3 000

ΔCF₃ = 8 000 − 2 500 = 5 500

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 86.24

NPV_Δ(9%) = −62.81

r* = 8.574%

答案

r* = 8.574%

校核：在 8.574% 时两个 NPV 都是 €448.47。

5.债券定价与收益率

答案: P = 795.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0275, N = 22

票息的现值

€15.00·(1 − 0.5506)/0.0275 = €245.15

面值的现值

€1 000·0.5506 = €550.55

价格

P = €795.71

答案

P = €795.71

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.002 %

收益率方程

€960 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(8%) = €960.07, P(9%) = €922.21

YTM = 8.002%

答案

YTM = 8.002%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.445 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·10% + 0.2·3%·(1 − 0.258) = 8.445%

答案

WACC = 8.445%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.779 %

债务成本 (YTM)

954 = 40·(1 − (1 + y)⁻¹²)/y + 1000/(1 + y)¹²

y = 4.505%

市场价值

D = 8 000·€954 = €7 632 000

V = €17 632 000, E/V = 0.5672, D/V = 0.4328

WACC

WACC = 0.5672·11% + 0.4328·4.505%·(1 − 0.21) = 7.779%

答案

WACC = 7.779%

9.描述统计

答案: s = 15.52

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 277/7 = 39.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−28.57)² + 3.429² + 12.43² + 14.43² + 12.43² + (−6.571)² + (−7.571)² = 1446

标准差

s = √(1446/6) = 15.52

答案

s = 15.52

10.描述统计

答案: P = 0.2119

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答案

P = 0.2119

11.概率

答案: N = 220

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220

答案

N = 220

12.概率

答案: E(G) = −1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 20 (p = 0.1), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.89)

期望值

E(G) = 20·0.1 + 95·0.01 − 5·0.89 = −1.5 €

答案

E(G) = −1.5 €

负值表示平均而言你会亏钱。

13.正态分布

答案: P = 0.3651

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (482 − 500)/40 = −0.45

z₂ = (520 − 500)/40 = 0.5

中间面积

P = Φ(0.5) − Φ(−0.45) = 0.6915 − 0.3264 = 0.3651

答案

P = 0.3651

14.正态分布

答案: x = 75.33 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 分

答案

x = 75.33 分

15.置信区间

答案: E₂ = 3.694

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(36/36) = 1.191

新的误差范围

E₂ = 3.1·1.191 = 3.694

答案

E₂ = 3.694

16.置信区间

答案: n = 86

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (2.576·18/5)² = 86

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 86

答案

n = 86

17.假设检验与置信区间

答案: t = 0.7818

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (18·4² + 11·6²)/29 = 23.59

s_p = 4.857

标准误

SE = 4.857·√(1/19 + 1/12) = 1.791

检验统计量

t = (107 − 105.6)/1.791 = 0.7818

答案

t = 0.7818

df = 29 时，双侧 5% 的临界值为 2.045；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 420

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.282)·14/2)² = 419.8

向上取整

n = 420

答案

n = 420

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9861

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 494/5 = 98.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1481

答案

r = 0.9861

20.线性回归与相关

答案: x = 20.98

均值

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 464/5 = 92.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 244

回归直线

b = 244/40 = 6.1

a = 92.8 − 6.1·18 = −17

ŷ = −17 + 6.1·x

解出 x

x = (111 − (−17))/6.1 = 20.98

答案

x = 20.98

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