货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €10 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 6.5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €10 000g = 2.5%r = 6.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 5 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €25 0006% / 12N = 60
I = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €9 000, €8 500, €7 500, €7 000, €6 500, €5 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 8 500CF3 = 7 500CF4 = 7 000CF5 = 6 500CF6 = 5 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €19 000, €20 000, €21 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 20 000CF3 = 21 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 5.5%n = 11
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，5 年后到期。其售价为 €1 131。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 5P = €1 131
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 9%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。
D/E = 0.25re = 9%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €6 000 000，股权资本成本为 13%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 4%，剩余期限 11 年），每张交易价格为 €1 045。税率为 25.8%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €6 000 000re = 13%债券: 4 000 × €1 045票面利率 = 4%n = 11T = 25.8%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：55, 39, 60, 46, 21, 55。
n = 6
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值低于 80 的比例 P 是多少？
μ = 100σ = 10x = 80
P =
11.概率中等
对图中的分布，求 X 的标准差 σ。
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.3, 0.2, 0.25, 0.25
σ =
12.概率困难
测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 7p = 0.3
P =
13.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 352 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 352 kg
P =
14.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 75% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分75%
x = 分
15.置信区间中等
测量 11 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 8.9，标准差为 6.2。 求平均差值的 95% 置信区间的上限。
n = 11d̄ = 8.9sd = 6.295%t(10) = 2.228
上限 = mmHg
16.置信区间困难
对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 38 kg，标准差 7.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 33.5 kg，标准差 1.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。
n₁ = 6x̄₁ = 38s₁ = 7.5n₂ = 10x̄₂ = 33.5s₂ = 1.590%t(14) = 1.761
上限 = kg
17.假设检验与置信区间中等
64 名学生的样本平均分为 71.1，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 75 的检验统计量 t。
μ₀ = 75x̄ = 71.1s = 12n = 64
t =
18.假设检验与置信区间困难
25 次测量的样本均值为 93.4。总体标准差为 15。求均值 95% 置信区间的上限 U。
x̄ = 93.4σ = 15n = 2595%
U =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数 和 y = 考试成绩。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (4, 66)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(4, 66)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 250000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 10 000/(0.065 − 0.025) = 10 000/0.04 = €250 000.00
答案
PV = €250 000.00
2.货币的时间价值
答案: I = 3999 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.005, N = 60
A = 25 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−60) = €483.32
利息总额
I = N·A − P = 60·483.3 − 25 000 = €3 999.20
答案
I = €3 999.20
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 2.851 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 9 000/1.1 = 8 181.82 → Σ = 8 181.82
年份 2: 8 500/1.21 = 7 024.79 → Σ = 15 206.61
年份 3: 7 500/1.331 = 5 634.86 → Σ = 20 841.47
最后一年的分数
DPB = 2 + 4 793.39/5 634.86 = 2.851
答案
DPB = 2.851 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.333 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 22.92 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 1 875.00
NPV(25%) = −1 248.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·1 875.00/(1 875.00 − (−1 248.00)) = 23%
精确: NPV(22.92%) = 0 → IRR = 22.92%
答案
IRR = 22.92%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1204 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €40.00, i = 0.0275, N = 22
票息的现值
€40.00·(1 − 0.5506)/0.0275 = €653.74
面值的现值
€1 000·0.5506 = €550.55
价格
P = €1 204.29
答案
P = €1 204.29
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.006 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €40.00, N = 10
数值求解
i = 2.503% 每半年
YTM
YTM = 2·2.503% = 5.006%
答案
YTM = 5.006%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8
D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2
WACC
WACC = 0.8·9% + 0.2·5%·(1 − 0.2) = 8%
答案
WACC = 8%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.728 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
1045 = 40·(1 − (1 + y)−11)/y + 1000/(1 + y)11
y = 3.5%
市场价值
D = 4 000·€1 045 = €4 180 000
V = €10 180 000, E/V = 0.5894, D/V = 0.4106
WACC
WACC = 0.5894·13% + 0.4106·3.5%·(1 − 0.258) = 8.728%
答案
WACC = 8.728%
9.描述统计
答案: s = 14.37
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 276/6 = 46
离差平方
Σ(x − x̄)² = 9² + (−7)² + 14² + 0² + (−25)² + 9² = 1032
标准差
s = √(1032/5) = 14.37
答案
s = 14.37
10.描述统计
答案: P = 0.02275
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −2
标准正态分布表
Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275
答案
P = 0.02275
11.概率
答案: σ = 1.161
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 1·0.3 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2.45
平方的均值
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.25 = 7.35
方差
Var(X) = 7.35 − 2.45² = 1.347
σ = √1.347 = 1.161
答案
σ = 1.161
12.概率
答案: P = 0.3294
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.77 = 0.08235
P(X = 1) = 7·0.3·0.76 = 0.2471
相加
P = 0.08235 + 0.2471 = 0.3294
答案
P = 0.3294
13.正态分布
答案: P = 0.3085
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 340 kg, σT = 12·√4 = 24 kg
标准化
z = (352 − 340)/24 = 0.5
概率
P = 1 − Φ(0.5) = 0.3085
答案
P = 0.3085
14.正态分布
答案: x = 71.7 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.75
由表得到的 z
z ≈ 0.67
回到原来的单位
x = 65 + 0.67·10 = 71.7 分
答案
x = 71.7 分
15.置信区间
答案: 上限 = 13.06 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 10, t = 2.228
误差范围
E = 2.228·6.2/√11 = 4.165
区间
8.9 ± 4.165 → [4.735, 13.06]
答案
上限 = 13.06 mmHg
16.置信区间
答案: 上限 = 8.72 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
合并标准差
sp² = (5·7.5² + 9·1.5²)/14 = 21.54
sp = 4.641
误差范围
E = 1.761·4.641·√(1/6 + 1/10) = 4.22
区间
4.5 ± 4.22 → [0.2799, 8.72]
答案
上限 = 8.72 kg
17.假设检验与置信区间
答案: t = −2.6
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
标准误
SE = 12/√64 = 12/8 = 1.5
检验统计量
t = (71.1 − 75)/1.5 = −2.6
答案
t = −2.6
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: U = 99.28
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·15/√25 = 5.88
区间端点
U = 93.4 + 5.88 = 99.28
答案
U = 99.28
19.线性回归与相关
答案: r² = 0.976
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 104/6 = 17.33
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Syy = Σ(y − ȳ)² = 517.3
决定系数
r² = 188²/(70·517.3) = 0.976
答案
r² = 0.976
y 的变异中约有 97.6% 可由该直线解释。
20.线性回归与相关
答案: e = 2.6
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 510/6 = 85
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 378
回归直线
b = 378/70 = 5.4
a = 85 − 5.4·8 = 41.8
ŷ = 41.8 + 5.4·x
预测值
ŷ = 41.8 + 5.4·4 = 63.4
残差
e = 66 − 63.4 = 2.6
答案
e = 2.6
该点位于直线上方。
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