货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €5 000，共 20 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。
A = €5 000i = 4%n = 20
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €30 000 的贷款在 4 年内按月等额偿还，年利率 4.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €30 0004.2% / 12N = 48
I = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €80 000，使用 5 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €80 000M = €4 000n = 5r = 6%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 000, €12 000, €7 000。项目 B 需投入 €35 000，回报为 €10 000, €14 000, €18 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −30 000, 17 000, 12 000, 7 000B: −35 000, 10 000, 14 000, 18 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 11 年后到期，每年付息。到期收益率为 8% 时其售价为 €929。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 11P = €929YTM = 8%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，9 年后到期。其售价为 €895。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 9P = €895
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 5%，税率为 30%。求 WACC。
E = €3 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有4 000 000 股、每股 €21.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。
β = 1.8rf = 4%rm = 8.5%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：39, 47, 17, 37, 17。
n = 5
s =
10.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 387.5 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 75x = 387.5
z =
11.概率中等
从 13 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 13k = 5
N =
12.概率困难
一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.1 赢得 €10，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €2€10: p = 0.1€20: p = 0.02
E(G) = €
13.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.3328。求 z，保留两位小数。
A = 0.3328
z =
14.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 20%
x = cm
15.置信区间中等
测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 4.3，标准差为 5.7。 求平均差值的 90% 置信区间的上限。
n = 12d̄ = 4.3sd = 5.790%t(11) = 1.796
上限 = mmHg
16.置信区间困难
25 根机加工轴的直径样本标准差为 9.2 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。
n = 25s = 9.2 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
17.假设检验与置信区间中等
两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 74.5 mm，该生产线的已知标准差为 6 mm。生产线 2：30 个零件的样本均值为 72.4 mm，已知标准差为 6 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。
n₁ = 60x̄₁ = 74.5 mmσ₁ = 6 mmn₂ = 30x̄₂ = 72.4 mmσ₂ = 6 mm
z =
18.假设检验与置信区间困难
在 α = 0.01 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 30。实际上均值为 210.5。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。
μ₀ = 200μ = 210.5σ = 30n = 100α = 0.01
1 − β = %
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 车龄（年） 和 y = 价格 (k€)。 求最小二乘直线的决定系数 r²。
n = 6
r² =
20.线性回归与相关困难
表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 预测 x = 4.5 时的 ŷ。
n = 5x = 4.5
ŷ =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 67952 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.4564)/0.04 = 13.59
现值
PV = 5 000·13.59 = €67 951.63
答案
PV = €67 951.63
2.货币的时间价值
答案: I = 2643 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.0035, N = 48
A = 30 000·0.0035/(1 − (1 + 0.0035)−48) = €680.06
利息总额
I = N·A − P = 48·680.1 − 30 000 = €2 642.87
答案
I = €2 642.87
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 22992 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.06−5)/0.06 = 4.212
年化购置价格
80 000/4.212 = 18 991.71
EAC
EAC = 18 991.71 + 4 000 = €22 991.71
答案
EAC = €22 991.71
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 3.597 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 10 000 − 17 000 = −7 000
ΔCF2 = 14 000 − 12 000 = 2 000
ΔCF3 = 18 000 − 7 000 = 11 000
差额的 IRR
NPVΔ(3%) = 155.63
NPVΔ(4%) = −102.70
r* = 3.597%
答案
r* = 3.597%
校核：在 3.597% 时两个 NPV 都是 €3 886.56。
5.债券定价与收益率
答案: c = 7.005 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.08)−11 = €428.88
票息
C = (929 − 428.88)/7.139 = €70.05
票面利率
c = 70.05/1000 = 7.005%
答案
c = 7.005%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.494 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €20.00, N = 18
数值求解
i = 2.747% 每半年
YTM
YTM = 2·2.747% = 5.494%
答案
YTM = 5.494%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.188 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €8 000 000, E/V = 0.375, D/V = 0.625
WACC
WACC = 0.375·8% + 0.625·5%·(1 − 0.3) = 5.188%
答案
WACC = 5.188%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.407 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 4 000 000·€21.50 = €86 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
股权成本（CAPM）
re = 4% + 1.8·4.5% = 12.1%
权重
V = €124 400 000, E/V = 0.6913, D/V = 0.3087
WACC
WACC = 0.6913·12.1% + 0.3087·4.5%·(1 − 0.25) = 9.407%
答案
WACC = 9.407%
9.描述统计
答案: s = 13.67
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 157/5 = 31.4
离差平方
Σ(x − x̄)² = 7.6² + 15.6² + (−14.4)² + 5.6² + (−14.4)² = 747.2
标准差
s = √(747.2/4) = 13.67
答案
s = 13.67
10.描述统计
答案: z = −1.5
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (387.5 − 500)/75 = −1.5
答案
z = −1.5
11.概率
答案: N = 1287
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(13, 5) = (13·12·11·10·9)/(5·4·3·2·1) = 1287
答案
N = 1287
12.概率
答案: E(G) = −0.6 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 8 (p = 0.1), 18 (p = 0.02), −2 (p = 0.88)
期望值
E(G) = 8·0.1 + 18·0.02 − 2·0.88 = −0.6 €
答案
E(G) = −0.6 €
负值表示平均而言你会亏钱。
13.正态分布
答案: z = 0.43
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = (1 + 0.3328)/2 = 0.6664
反向查 z 表
在表中找到 0.6664，读出 z。
z = 0.43
答案
z = 0.43
14.正态分布
答案: x = 172.1 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416
换算回 x
x = 178 + −0.8416·7 = 172.11 cm
答案
x = 172.11 cm
15.置信区间
答案: 上限 = 7.255 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
临界值
df = 11, t = 1.796
误差范围
E = 1.796·5.7/√12 = 2.955
区间
4.3 ± 2.955 → [1.345, 7.255]
答案
上限 = 7.255 mmHg
16.置信区间
答案: σ = 12.8 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 24·9.2² = 2031
σ² 的限值
2031/39.364 = 51.6
2031/12.401 = 163.8
σ 的限值
σ = √163.8 = 12.8 µm
答案
σ = 12.8 µm
σ 的 95% 区间：[7.184, 12.8] µm。
17.假设检验与置信区间
答案: z = 1.565
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
差值的标准误
SE = √(6²/60 + 6²/30) = √1.8 = 1.342
检验统计量
z = (74.5 − 72.4)/1.342 = 1.565
答案
z = 1.565
|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。
18.假设检验与置信区间
答案: 1 − β = 87.98 %
检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。
临界样本均值
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 200 + 2.326·3 = 207
真实均值下的 z
z = (207 − 210.5)/3 = −1.174
功率
功效 = P(Z > −1.174) = 87.98%
1 − β = 87.98%
答案
1 − β = 87.98%
19.线性回归与相关
答案: r² = 0.9257
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 105/6 = 17.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 91.5
决定系数
r² = −38.5²/(17.5·91.5) = 0.9257
答案
r² = 0.9257
y 的变异中约有 92.57% 可由该直线解释。
20.线性回归与相关
答案: ŷ = 51.9
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 20/5 = 4
ȳ = 254/5 = 50.8
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 22
回归直线
b = 22/10 = 2.2
a = 50.8 − 2.2·4 = 42
ŷ = 42 + 2.2·x
预测
ŷ = 42 + 2.2·4.5 = 51.9
答案
ŷ = 51.9
本内容为独立练习材料。ExamProblems 与该考试的主办机构没有隶属关系，也未获其认可，考试名称仅用于描述内容。 CFA® and Chartered Financial Analyst® 是 CFA Institute 的商标，该机构与 ExamProblems 无关，不为其背书，也不保证其准确性。
ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income