CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €5 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0006% / 12n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 16 年内每月月末存入 €500。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5005.4% / 12N = 192

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 5 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €2 000n = 5r = 5%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €24 500, €15 000, €27 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 24 500CF₂ = 15 000CF₃ = 27 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，6 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 6.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 5%n = 6y₁ = 5.5%y₂ = 6.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，3 年后到期。到期收益率为 5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 3YTM = 5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.4。其股权资本成本为 8%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.4r_e = 8%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €5 000 000，股权资本成本为 10%。其债务由 4 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 11 年），每张交易价格为 €890。税率为 30%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €5 000 000r_e = 10%债券: 4 000 × €890票面利率 = 6%n = 11T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：22, 48, 34, 40, 20, 59。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。求成绩 55 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 10x = 55

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 8 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 8

P =

12.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.2k = 5

P =

13.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 396.2 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10> 396.2 g

P =

14.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分10%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 62.5，标准差 s = 7。总体近似服从正态分布。求均值的 95% 置信区间的误差范围 E。

n = 16x̄ = 62.5s = 795%t(15) = 2.131

E =

16.置信区间困难

总体标准差为 20。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 20E = 190%

n =

17.假设检验与置信区间中等

20 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −3.76，差值的标准差为 4.8。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 20d̄ = −3.76s_d = 4.8

t =

18.假设检验与置信区间困难

在 α = 0.05 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ < 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 5。实际上均值为 199.5。求第二类错误的概率 β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 199.5σ = 5n = 100α = 0.05

β = %

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (4, 53)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(4, 53)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 7602 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 5 000·(1 + 0.005)⁸⁴ = 5 000·1.52 = €7 601.85

答案

FV = €7 601.85

2.货币的时间价值

答案: FV = 152004 €

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·16 = 192

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.368 − 1)/0.0045 = €152 004.23

答案

FV = €152 004.23

你自己存入了 €96 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8929 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁵)/0.05 = 4.329

年化购置价格

30 000/4.329 = 6 929.24

EAC

EAC = 6 929.24 + 2 000 = €8 929.24

答案

EAC = €8 929.24

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 30.02 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 11.38

NPV(35%) = −2 647.46

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·11.38/(11.38 − (−2 647.46)) = 30.02%

精确: NPV(30.02%) = 0 → IRR = 30.02%

答案

IRR = 30.02%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −47.64 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.055, N = 6

€50.00·(1 − 0.7252)/0.055 + €1 000·0.7252 = €249.78 + €725.25 = €975.02

按新收益率计算的价格

C = €50.00, i = 0.065, N = 6

€50.00·(1 − 0.6853)/0.065 + €1 000·0.6853 = €242.05 + €685.33 = €927.38

变化

ΔP = 927.38 − 975.02 = −€47.64

答案

ΔP = −€47.64

6.债券定价与收益率

答案: D = 2.884 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 40/1.05 = 38.10, t·PV = 38.10

t = 2: 40/1.103 = 36.28, t·PV = 72.56

t = 3: 1040/1.158 = 898.39, t·PV = 2 695.17

久期

P = 972.77

D = 2 805.83/972.77 = 2.884

答案

D = 2.884 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.786 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.4) = 0.7143

D/V = 0.4/(1 + 0.4) = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·8% + 0.2857·5%·(1 − 0.25) = 6.786%

答案

WACC = 6.786%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.026 %

债务成本 (YTM)

890 = 60·(1 − (1 + y)⁻¹¹)/y + 1000/(1 + y)¹¹

y = 7.504%

市场价值

D = 4 000·€890 = €3 560 000

V = €8 560 000, E/V = 0.5841, D/V = 0.4159

WACC

WACC = 0.5841·10% + 0.4159·7.504%·(1 − 0.3) = 8.026%

答案

WACC = 8.026%

9.描述统计

答案: s = 15.08

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 223/6 = 37.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−15.17)² + 10.83² + (−3.167)² + 2.833² + (−17.17)² + 21.83² = 1137

标准差

s = √(1137/5) = 15.08

答案

s = 15.08

10.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (55 − 70)/10 = −1.5

答案

z = −1.5

11.概率

答案: P = 0.7674

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁸ = 0.2326

P = 1 − 0.2326 = 0.7674

答案

P = 0.7674

12.概率

答案: P = 0.05315

二项分布公式

P(X = 5) = 792·0.2⁵·0.8⁷ = 792·0.00032·0.2097 = 0.05315

答案

P = 0.05315

13.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 400 g, σ_T = 1.2·√10 = 3.795 g

标准化

z = (396.2 − 400)/3.795 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

14.正态分布

答案: x = 77.8 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 分

答案

x = 77.8 分

15.置信区间

答案: E = 3.729

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.131

误差范围

E = 2.131·7/√16 = 3.729

答案

E = 3.729

16.置信区间

答案: n = 1083

解出 n

n = (1.645·20/1)² = 1082

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1083

答案

n = 1083

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.503

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 4.8/√20 = 1.073

检验统计量

t = −3.76/1.073 = −3.503

答案

t = −3.503

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: β = 74.05 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 200 − 1.645·0.5 = 199.2

真实均值下的 z

z = (199.2 − 199.5)/0.5 = −0.645

第二类错误

功效 = P(Z < −0.645) = 25.95%

β = 100% − 25.95% = 74.05%

答案

β = 74.05%

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9928

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 97/5 = 19.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 387.2

决定系数

r² = 124²/(40·387.2) = 0.9928

答案

r² = 0.9928

y 的变异中约有 99.28% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −1.5

均值

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 302/5 = 60.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

回归直线

b = 236/40 = 5.9

a = 60.4 − 5.9·5 = 30.9

ŷ = 30.9 + 5.9·x

预测值

ŷ = 30.9 + 5.9·4 = 54.5

残差

e = 53 − 54.5 = −1.5

答案

e = −1.5

该点位于直线下方。

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