CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €30 000 的贷款在 3 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €30 0004.8% / 12N = 36

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€16 000, €29 000, €24 000, €28 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −75 000CF₁ = 16 000CF₂ = 29 000CF₃ = 24 000CF₄ = 28 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €30 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €17 000, €11 000, €6 500。项目 B 需投入 €40 000，回报为 €10 000, €16 000, €20 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −30 000, 17 000, 11 000, 6 500B: −40 000, 10 000, 16 000, 20 500

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 5%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €965。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €965

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 14%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €25.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 7%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 48, 19, 54, 38。

n = 5

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 178 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 8x = 178

z =

11.概率中等

从 6 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 6k = 3

N =

12.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.2k = 3

P =

13.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.5 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.5 mm

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 90% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 27.5，标准差 s = 3.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 16x̄ = 27.5s = 3.590%t(15) = 1.753

上限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 37。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 37E = 2.599%

n =

17.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：6 名学生，平均分 26.5，标准差 3.5。第 2 组：15 名学生，平均分 30.6，标准差 8。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 6x̄₁ = 26.5s₁ = 3.5n₂ = 15x̄₂ = 30.6s₂ = 8

t =

18.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 98.8。总体标准差为 4。求均值 95% 置信区间的下限 L。

x̄ = 98.8σ = 4n = 6495%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 6 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 6

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 x 取何值 x 时，直线预测 ŷ = 63？

n = 6ŷ = 63

x =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 22.1 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/2 = 0.105

复利一年

EAR = (1 + 0.105)² − 1 = 1.221 − 1 = 22.1%

答案

EAR = 22.1%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: I = 2272 €

月供

i = 0.004, N = 36

A = 30 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁶) = €896.44

利息总额

I = N·A − P = 36·896.4 − 30 000 = €2 271.68

答案

I = €2 271.68

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4310 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 16 000/1.08 = 14 814.81

CF₂/(1 + 0.08)² = 29 000/1.166 = 24 862.83

CF₃/(1 + 0.08)³ = 24 000/1.26 = 19 051.97

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 28 000/1.36 = 20 580.84

相加

NPV = €4 310.45

答案

NPV = €4 310.45

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 4.898 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −40 000 − (−30 000) = −10 000

ΔCF₁ = 10 000 − 17 000 = −7 000

ΔCF₂ = 16 000 − 11 000 = 5 000

ΔCF₃ = 20 500 − 6 500 = 14 000

差额的 IRR

NPV_Δ(4%) = 337.96

NPV_Δ(5%) = −37.79

r* = 4.898%

答案

r* = 4.898%

校核：在 4.898% 时两个 NPV 都是 €1 834.49。

5.债券定价与收益率

答案: P = 804.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.025, N = 16

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6736)/0.025 = €130.55

面值的现值

€1 000·0.6736 = €673.62

价格

P = €804.17

答案

P = €804.17

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.963 %

收益率方程

€965 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(3%) = €1 000.00, P(4%) = €963.70

YTM = 3.963%

答案

YTM = 3.963%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.2 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.258) = 10.2%

答案

WACC = 10.2%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.25 %

市场价值

E = 1 000 000·€25.00 = €25 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.5·6.5% = 12.25%

权重

V = €35 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·12.25% + 0.2857·7%·(1 − 0.25) = 10.25%

答案

WACC = 10.25%

9.描述统计

答案: s = 13.84

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 190/5 = 38

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−7)² + 10² + (−19)² + 16² + 0² = 766

标准差

s = √(766/4) = 13.84

答案

s = 13.84

10.描述统计

答案: z = 1

标准化

z = (178 − 170)/8 = 1

答案

z = 1

11.概率

答案: N = 20

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

答案

N = 20

12.概率

答案: P = 0.2215

二项分布公式

P(X = 3) = 165·0.2³·0.8⁸ = 165·0.008·0.1678 = 0.2215

答案

P = 0.2215

13.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

上尾

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

14.正态分布

答案: x = 449 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 500 − 1.28·40 = 449 h

答案

x = 449 h

15.置信区间

答案: 上限 = 29.03

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 1.753

误差范围

E = 1.753·3.5/√16 = 1.534

区间

27.5 ± 1.534 → [25.97, 29.03]

答案

上限 = 29.03

16.置信区间

答案: n = 1454

解出 n

n = (2.576·37/2.5)² = 1454

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 1454

答案

n = 1454

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.196

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (5·3.5² + 14·8²)/19 = 50.38

s_p = 7.098

标准误

SE = 7.098·√(1/6 + 1/15) = 3.429

检验统计量

t = (26.5 − 30.6)/3.429 = −1.196

答案

t = −1.196

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 97.82

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.96·4/√64 = 0.98

区间端点

L = 98.8 − 0.98 = 97.82

答案

L = 97.82

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9827

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 336/6 = 56

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 716

答案

r = 0.9827

20.线性回归与相关

答案: x = 3.468

均值

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 418/6 = 69.67

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113

回归直线

b = 113/17.5 = 6.457

a = 69.67 − 6.457·4.5 = 40.61

ŷ = 40.61 + 6.457·x

解出 x

x = (63 − 40.61)/6.457 = 3.468

答案

x = 3.468

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