CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 500，共 19 年。年利率为 5%。求该年金的现值 PV。

A = €1 500i = 5%n = 19

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €12 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0003.6% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €17 500, €20 500, €17 500, €15 500, €24 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 500CF₂ = 20 500CF₃ = 17 500CF₄ = 15 500CF₅ = 24 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €29 000, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 15 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 8%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 8 年后到期，售价为 €875。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 8P = €875

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 6%，税率为 21%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.2。它计划采用 1.5 的负债权益比。税率为 30%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.2D/E = 1.5T = 30%r_f = 2.5%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：55, 14, 50, 21, 39, 12, 55。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。求成绩 103 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 5x = 103

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.3, 0.25, 0.15, 0.3

Var(X) =

12.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.25

P =

13.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量超过 139.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 12> 139.8 kg

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分30%

x = 分

15.置信区间中等

一个包含 16 个个体的样本，均值为 45.5，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 16x̄ = 45.5s = 490%t(15) = 1.753

E =

16.置信区间困难

对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 79.5 kg，标准差 6.5 kg。地块组 2：25 块地，均值 82.5 kg，标准差 8.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 6x̄₁ = 79.5s₁ = 6.5n₂ = 25x̄₂ = 82.5s₂ = 8.599%t(29) = 2.756

下限 = kg

17.假设检验与置信区间中等

100 名学生的样本平均分为 498.6，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 498.6s = 10n = 100

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 2.599%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 30Σy = 78Σx² = 220Σy² = 1370Σxy = 544

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (3, 34)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(3, 34)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18128 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3957)/0.05 = 12.09

现值

PV = 1 500·12.09 = €18 127.98

答案

PV = €18 127.98

2.货币的时间价值

答案: A = 218.8 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8355

A = 12 000·0.003/(1 − 0.8355) = €218.84

答案

A = €218.84

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.859 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 17 500/1.06 = 16 509.43 → Σ = 16 509.43

年份 2: 20 500/1.124 = 18 244.93 → Σ = 34 754.36

年份 3: 17 500/1.191 = 14 693.34 → Σ = 49 447.70

年份 4: 15 500/1.262 = 12 277.45 → Σ = 61 725.15

最后一年的分数

DPB = 3 + 10 552.30/12 277.45 = 3.859

答案

DPB = 3.859 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.29 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.412 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 224.49

NPV(10%) = −1 239.67

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 224.49/(1 224.49 − (−1 239.67)) = 7.485%

精确: NPV(7.412%) = 0 → IRR = 7.412%

答案

IRR = 7.412%

5.债券定价与收益率

答案: P = 783.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.04, N = 22

票息的现值

€25.00·(1 − 0.422)/0.04 = €361.28

面值的现值

€1 000·0.422 = €421.96

价格

P = €783.23

答案

P = €783.23

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.014 %

收益率方程

€875 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(6%) = €875.80, P(7%) = €820.86

YTM = 6.014%

答案

YTM = 6.014%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.91 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·14% + 0.3333·6%·(1 − 0.21) = 10.91%

答案

WACC = 10.91%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 16.03 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.2·(1 + 0.7·1.5) = 2.46

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 2.46·5.5% = 16.03%

答案

r_e = 16.03%

9.描述统计

答案: s = 19.18

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 246/7 = 35.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 19.86² + (−21.14)² + 14.86² + (−14.14)² + 3.857² + (−23.14)² + 19.86² = 2207

标准差

s = √(2207/6) = 19.18

答案

s = 19.18

10.描述统计

答案: z = 0.6

标准化

z = (103 − 100)/5 = 0.6

答案

z = 0.6

11.概率

答案: Var(X) = 144.8

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.3 + 20·0.25 + 30·0.15 + 40·0.3 = 24.5

平方的均值

E(X²) = 100·0.3 + 400·0.25 + 900·0.15 + 1600·0.3 = 745

方差

Var(X) = 745 − 24.5² = 144.8

答案

Var(X) = 144.8

12.概率

答案: P = 0.4449

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁷ = 0.1335

P(X = 1) = 7·0.25·0.75⁶ = 0.3115

相加

P = 0.1335 + 0.3115 = 0.4449

答案

P = 0.4449

13.正态分布

答案: P = 0.9357

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 144 kg, σ_T = 0.8·√12 = 2.771 kg

标准化

z = (139.8 − 144)/2.771 = −1.52

概率

P = 1 − Φ(−1.52) = 0.9357

答案

P = 0.9357

14.正态分布

答案: x = 92.2 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.3

由表得到的 z

z ≈ −0.52

回到原来的单位

x = 100 − 0.52·15 = 92.2 分

答案

x = 92.2 分

15.置信区间

答案: E = 1.753

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 1.753

误差范围

E = 1.753·4/√16 = 1.753

答案

E = 1.753

16.置信区间

答案: 下限 = −13.26 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

s_p² = (5·6.5² + 24·8.5²)/29 = 67.08

s_p = 8.19

误差范围

E = 2.756·8.19·√(1/6 + 1/25) = 10.26

区间

−3 ± 10.26 → [−13.26, 7.261]

答案

下限 = −13.26 kg

17.假设检验与置信区间

答案: t = −1.4

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

检验统计量

t = (498.6 − 500)/1 = −1.4

答案

t = −1.4

t_{0.025; df = 99} = 1.984

|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 239

解出 n

n = (2.576·15/2.5)² = 238.9

向上取整

n = 239

答案

n = 239

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9709

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 544 − 30·78/5 = 76

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1370 − 78²/5 = 153.2

答案

r = 0.9709

20.线性回归与相关

答案: e = −3.95

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 228/5 = 45.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 102

回归直线

b = 102/40 = 2.55

a = 45.6 − 2.55·6 = 30.3

ŷ = 30.3 + 2.55·x

预测值

ŷ = 30.3 + 2.55·3 = 37.95

残差

e = 34 − 37.95 = −3.95

答案

e = −3.95

该点位于直线下方。

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