CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 6%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €8 000g = 3%r = 6%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 5 年内每月月末存入 €200。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2003% / 12N = 60

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€22 000, €20 000, €21 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 22 000CF₂ = 20 000CF₃ = 21 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €14 000, €13 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 13 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 14 年后到期，每年付息。到期收益率为 3% 时其售价为 €1 565。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 14P = €1 565YTM = 3%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 7 年后到期，售价为 €890。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7P = €890

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €38.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 3%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 3%r_m = 8%r_d = 3.5%T = 25%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：16, 23, 24, 48, 50, 14。

n = 6

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 20。求成绩 30 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 20x = 30

z =

11.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.15, 0.35, 0.25, 0.25

Var(X) =

12.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.25, 0.15, 0.25, 0.2Y = 2X + 5

σ_Y =

13.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.8 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 200.8 mm

P =

14.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 10% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分10%

x = 分

15.置信区间中等

测量 6 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −7.1，标准差为 6.8。求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 6d̄ = −7.1s_d = 6.890%t(5) = 2.015

E = mmHg

16.置信区间困难

30 根机加工轴的直径样本标准差为 8.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 29 时，χ² 分布有 2.5% 位于 16.047 以下，2.5% 位于 45.722 以上。

n = 30s = 8.1 µmχ² = 16.047, 45.722

σ = µm

17.假设检验与置信区间中等

据称某总体的均值为 100；已知总体标准差为 7.5。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 98.2。检验 H₀: μ = 100 对 H₁: μ < 100。求 p 值 p。

μ₀ = 100σ = 7.5n = 25x̄ = 98.2H₁: μ < μ₀

p =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 0.595%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 100Σy = 513Σx² = 2090Σy² = 55319Σxy = 10743

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 16 时的 ŷ。

n = 5x = 16

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 266667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0.06 − 0.03) = 8 000/0.03 = €266 666.67

答案

PV = €266 666.67

2.货币的时间价值

答案: FV = 12929 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·5 = 60

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1.162 − 1)/0.0025 = €12 929.34

答案

FV = €12 929.34

你自己存入了 €12 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −17766 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 22 000/1.05 = 20 952.38

CF₂/(1 + 0.05)² = 20 000/1.103 = 18 140.59

CF₃/(1 + 0.05)³ = 21 000/1.158 = 18 140.59

相加

NPV = €−17 766.44

答案

NPV = €−17 766.44

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 24.3 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 1 041.67

NPV(25%) = −160.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·1 041.67/(1 041.67 − (−160.00)) = 24.33%

精确: NPV(24.3%) = 0 → IRR = 24.3%

答案

IRR = 24.3%

5.债券定价与收益率

答案: c = 8.002 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.03)⁻¹⁴ = €661.12

票息

C = (1565 − 661.12)/11.3 = €80.02

票面利率

c = 80.02/1000 = 8.002%

答案

c = 8.002%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.968 %

收益率方程

€890 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(5%) = €942.14, P(6%) = €888.35

YTM = 5.968%

答案

YTM = 5.968%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.558 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.4, D/V = 0.6

WACC

WACC = 0.4·10% + 0.6·3.5%·(1 − 0.258) = 5.558%

答案

WACC = 5.558%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.511 %

市场价值

E = 1 000 000·€38.00 = €38 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 0.8·5% = 7%

权重

V = €57 600 000, E/V = 0.6597, D/V = 0.3403

WACC

WACC = 0.6597·7% + 0.3403·3.5%·(1 − 0.25) = 5.511%

答案

WACC = 5.511%

9.描述统计

答案: s = 15.85

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 175/6 = 29.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13.17)² + (−6.167)² + (−5.167)² + 18.83² + 20.83² + (−15.17)² = 1257

标准差

s = √(1257/5) = 15.85

答案

s = 15.85

10.描述统计

答案: z = −2

标准化

z = (30 − 70)/20 = −2

答案

z = −2

11.概率

答案: Var(X) = 104

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 10·0.15 + 20·0.35 + 30·0.25 + 40·0.25 = 26

平方的均值

E(X²) = 100·0.15 + 400·0.35 + 900·0.25 + 1600·0.25 = 780

方差

Var(X) = 780 − 26² = 104

答案

Var(X) = 104

12.概率

答案: σ_Y = 2.75

X 的离散程度

μ = 3.1, Var(X) = 1.89, σ_X = 1.375

线性变换

σ_Y = |2|·1.375 = 2.75

答案

σ_Y = 2.75

均值确实会改变：E(Y) = 2·3.1 + 5 = 11.2。

13.正态分布

答案: P = 0.0548

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (200.8 − 200)/0.5 = 1.6

上尾

P = 1 − Φ(1.6) = 1 − 0.9452 = 0.0548

答案

P = 0.0548

14.正态分布

答案: x = 80.8 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 100 − 1.28·15 = 80.8 分

答案

x = 80.8 分

15.置信区间

答案: E = 5.594 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 5, t = 2.015

误差范围

E = 2.015·6.8/√6 = 5.594

答案

E = 5.594 mmHg

16.置信区间

答案: σ = 6.451 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 29·8.1² = 1903

σ² 的限值

1903/45.722 = 41.61

1903/16.047 = 118.6

σ 的限值

σ = √41.61 = 6.451 µm

答案

σ = 6.451 µm

σ 的 95% 区间：[6.451, 10.89] µm。

17.假设检验与置信区间

答案: p = 0.1151

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 7.5/√25 = 1.5

z = (98.2 − 100)/1.5 = −1.2

尾部面积

Φ(1.2) = 0.8849

1 − Φ(1.2) = 0.1151

p 值

p = 0.1151

答案

p = 0.1151

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 984

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·8/0.5)² = 983.4

向上取整

n = 984

答案

n = 984

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9825

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 10743 − 100·513/5 = 483

S_xx = 2090 − 100²/5 = 90

S_yy = 55319 − 513²/5 = 2685

答案

r = 0.9825

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 67.5

均值

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 420/5 = 84

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 220

回归直线

b = 220/40 = 5.5

a = 84 − 5.5·19 = −20.5

ŷ = −20.5 + 5.5·x

预测

ŷ = −20.5 + 5.5·16 = 67.5

答案

ŷ = 67.5

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