CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €500，共 15 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €500i = 8%n = 15

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €10 000 的贷款在 5 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €10 0002.4% / 12N = 60

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€4 000, €9 000, €5 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 4 000CF₂ = 9 000CF₃ = 5 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €3 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €3 000n = 8

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 2.5%n = 8

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 7% 的票息，分两次半年支付，3 年后到期。其售价为 €1 041。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 7% (2×)n = 3P = €1 041

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 12%，税前债务成本为 4.5%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 0.5r_e = 12%r_d = 4.5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €43.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 4%r_m = 9%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 20, 27, 23, 35, 18。

n = 6

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值低于 60 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 5x = 60

P =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

12.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €30，以概率 0.02 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€30: p = 0.25€200: p = 0.02

E(G) = €

13.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.3 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.3 mm

P =

14.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

15.置信区间中等

测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 9.4，标准差为 3.9。求平均差值的 90% 置信区间的上限。

n = 12d̄ = 9.4s_d = 3.990%t(11) = 1.796

上限 = mmHg

16.置信区间困难

总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 22E = 590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名学生的样本平均分为 506，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 506s = 20n = 16

t =

18.假设检验与置信区间困难

49 次测量的样本均值为 499.7。总体标准差为 10。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 499.7σ = 10n = 4990%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。

n = 5Σx = 25Σy = 220Σx² = 165Σy² = 9934Σxy = 1194

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 3.5 时的 ŷ。

n = 5x = 3.5

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4280 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.3152)/0.08 = 8.559

现值

PV = 500·8.559 = €4 279.74

答案

PV = €4 279.74

2.货币的时间价值

答案: I = 622 €

月供

i = 0.002, N = 60

A = 10 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻⁶⁰) = €177.03

利息总额

I = N·A − P = 60·177 − 10 000 = €621.98

答案

I = €621.98

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5169 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 4 000/1.1 = 3 636.36

CF₂/(1 + 0.1)² = 9 000/1.21 = 7 438.02

CF₃/(1 + 0.1)³ = 5 000/1.331 = 3 756.57

相加

NPV = €−5 169.05

答案

NPV = €−5 169.05

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 4.239 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 20 000/3 000 = 6.667

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 4%: 6.733

i = 5%: 6.463

IRR = 4.239%

答案

IRR = 4.239%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1397 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.0125, N = 16

票息的现值

€40.00·(1 − 0.8197)/0.0125 = €576.81

面值的现值

€1 000·0.8197 = €819.75

价格

P = €1 396.56

答案

P = €1 396.56

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.499 %

每期

C = €35.00, N = 6

数值求解

i = 2.749% 每半年

YTM

YTM = 2·2.749% = 5.499%

答案

YTM = 5.499%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.185 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667

D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·12% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.21) = 9.185%

答案

WACC = 9.185%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.942 %

市场价值

E = 1 000 000·€43.50 = €43 500 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.8·5% = 13%

权重

V = €85 500 000, E/V = 0.5088, D/V = 0.4912

WACC

WACC = 0.5088·13% + 0.4912·6%·(1 − 0.21) = 8.942%

答案

WACC = 8.942%

9.描述统计

答案: s = 6.197

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 144/6 = 24

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−3)² + (−4)² + 3² + (−1)² + 11² + (−6)² = 192

标准差

s = √(192/5) = 6.197

答案

s = 6.197

10.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

11.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

12.概率

答案: E(G) = 1.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 20 (p = 0.25), 190 (p = 0.02), −10 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 20·0.25 + 190·0.02 − 10·0.73 = 1.5 €

答案

E(G) = 1.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

13.正态分布

答案: P = 0.9192

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.3 − 200)/0.5 = −1.4

上尾

P = 1 − Φ(−1.4) = 1 − 0.08076 = 0.9192

答案

P = 0.9192

14.正态分布

答案: P = 0.8264

差的分布

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.02)/0.02121 = −0.94

概率

P = 1 − Φ(−0.94) = 0.8264

答案

P = 0.8264

15.置信区间

答案: 上限 = 11.42 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 11, t = 1.796

误差范围

E = 1.796·3.9/√12 = 2.022

区间

9.4 ± 2.022 → [7.378, 11.42]

答案

上限 = 11.42 mmHg

16.置信区间

答案: n = 53

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·22/5)² = 52.39

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 53

答案

n = 53

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

检验统计量

t = (506 − 500)/5 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 497.3

误差范围

E = 1.645·10/√49 = 2.35

区间端点

L = 499.7 − 2.35 = 497.3

答案

L = 497.3

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9326

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

中心化后的和

S_xy = 1194 − 25·220/5 = 94

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 9934 − 220²/5 = 254

答案

r = 0.9326

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 18.45

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 99/5 = 19.8

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

回归直线

b = −27/10 = −2.7

a = 19.8 − (−2.7)·3 = 27.9

ŷ = 27.9 − 2.7·x

预测

ŷ = 27.9 + (−2.7)·3.5 = 18.45

答案

ŷ = 18.45

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