CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €2 000，按月复利。求 7 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003.6% / 12n = 7

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €1 000，共 11 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 11 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €1 000i = 4%n = 11

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000，使用 5 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 12%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €80 000M = €3 000n = 5r = 12%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €29 000, €29 500, €26 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 29 000CF₂ = 29 500CF₃ = 26 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 7%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €995，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 6.5 年。如果收益率上升 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €995y = 3%D = 6.5Δy = +100 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一只贝塔为 1.6 的股票要求回报为 9.8%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 r_m 是多少？

β = 1.6r_e = 9.8%r_f = 1%

r_m = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 28%，无风险利率为 1%，市场风险溢价为 6%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 1T = 28%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：33, 48, 58, 24, 39, 37, 40。

n = 7

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值低于 77.5 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 15x = 77.5

P =

11.概率中等

从 15 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 15k = 2

N =

12.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.25k = 1

P =

13.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 53.5 和 67.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 53.5x₂ = 67.5

P =

14.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 15% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

15.置信区间中等

一个包含 7 个个体的样本，均值为 63.5，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 7x̄ = 63.5s = 490%t(6) = 1.943

下限 =

16.置信区间困难

事先对缺陷产品的比例一无所知。必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.05？

p = 0.5E = 0.0590%

n =

17.假设检验与置信区间中等

16 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 1.21，差值的标准差为 2.2。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 16d̄ = 1.21s_d = 2.2

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 1.599%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (1.5, 21)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 5(1.5, 21)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2572 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·7 = 84

终值

FV = 2 000·(1 + 0.003)⁸⁴ = 2 000·1.286 = €2 572.22

答案

FV = €2 572.22

2.货币的时间价值

答案: FV = 14026 €

普通年金系数

((1 + 0.04)¹¹ − 1)/0.04 = 13.49

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 1 000·13.49·1.04 = €14 025.81

答案

FV = €14 025.81

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 25193 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.12⁻⁵)/0.12 = 3.605

年化购置价格

80 000/3.605 = 22 192.78

EAC

EAC = 22 192.78 + 3 000 = €25 192.78

答案

EAC = €25 192.78

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 32.62 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 1 825.22

NPV(35%) = −1 561.25

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·1 825.22/(1 825.22 − (−1 561.25)) = 32.69%

精确: NPV(32.62%) = 0 → IRR = 32.62%

答案

IRR = 32.62%

5.债券定价与收益率

答案: P = 863.5 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.035, N = 14

票息的现值

€22.50·(1 − 0.6178)/0.035 = €245.71

面值的现值

€1 000·0.6178 = €617.78

价格

P = €863.49

答案

P = €863.49

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 932.2 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 6.5/1.03 = 6.311

估计的价格变化

%ΔP ≈ −6.311·(0.01) = −6.311%

P ≈ 995·(1 − 0.06311) = €932.21

答案

P = €932.21

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: r_m = 6.5 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

r_m − r_f = (9.8% − 1%)/1.6 = 5.5%

市场回报

r_m = 1% + 5.5% = 6.5%

答案

r_m = 6.5%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.192 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.72·1) = 1.032

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 1.032·6% = 7.192%

答案

r_e = 7.192%

9.描述统计

答案: s = 10.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 279/7 = 39.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6.857)² + 8.143² + 18.14² + (−15.86)² + (−0.8571)² + (−2.857)² + 0.1429² = 702.9

标准差

s = √(702.9/6) = 10.82

答案

s = 10.82

10.描述统计

答案: P = 0.06681

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

答案

P = 0.06681

11.概率

答案: N = 105

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

答案

N = 105

12.概率

答案: P = 0.1549

二项分布公式

P(X = 1) = 11·0.25¹·0.75¹⁰ = 11·0.25·0.05631 = 0.1549

答案

P = 0.1549

13.正态分布

答案: P = 0.4736

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (53.5 − 65)/10 = −1.15

z₂ = (67.5 − 65)/10 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(−1.15) = 0.5987 − 0.1251 = 0.4736

答案

P = 0.4736

14.正态分布

答案: x = 458 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.15

由表得到的 z

z ≈ −1.04

回到原来的单位

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

答案

x = 458 h

15.置信区间

答案: 下限 = 60.56

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 1.943

误差范围

E = 1.943·4/√7 = 2.938

区间

63.5 ± 2.938 → [60.56, 66.44]

答案

下限 = 60.56

16.置信区间

答案: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.05² = 270.6

向上取整

n = 271

答案

n = 271

17.假设检验与置信区间

答案: t = 2.2

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 2.2/√16 = 0.55

检验统计量

t = 1.21/0.55 = 2.2

答案

t = 2.2

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 189

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (2.576·8/1.5)² = 188.8

向上取整

n = 189

答案

n = 189

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.9937

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 311/5 = 62.2

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 260

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1701

决定系数

r² = 260²/(40·1701) = 0.9937

答案

r² = 0.9937

y 的变异中约有 99.37% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −3.15

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 108/5 = 21.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

回归直线

b = −17/10 = −1.7

a = 21.6 − (−1.7)·3 = 26.7

ŷ = 26.7 − 1.7·x

预测值

ŷ = 26.7 + (−1.7)·1.5 = 24.15

残差

e = 21 − 24.15 = −3.15

答案

e = −3.15

该点位于直线下方。

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