CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €20 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0004.8% / 4n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 5.4% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €125。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €1255.4% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€9 000, €18 000, €12 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 9 000CF₂ = 18 000CF₃ = 12 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 500, €28 000, €25 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 28 000CF₃ = 25 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 7% 时其售价为 €727。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 15P = €727YTM = 7%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 8%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 4YTM = 8%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 8.81%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求股权资本成本 r_e。

E = €5 000 000D = €2 000 000WACC = 8.81%r_d = 4.5%T = 25.8%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €22.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 1.5r_f = 3.5%r_m = 7.5%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：49, 22, 51, 44, 22, 18, 39。

n = 7

s =

10.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 593.8 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 75x = 593.8

z =

11.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

12.概率困难

测试 6 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.7

P =

13.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2358。求 z，保留两位小数。

A = 0.2358

z =

14.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

15.置信区间中等

一个包含 9 个个体的样本，均值为 109.5，标准差 s = 4.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 9x̄ = 109.5s = 4.590%t(8) = 1.86

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 35。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 5？

σ = 35E = 595%

n =

17.假设检验与置信区间中等

25 名学生的样本平均分为 51.92，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 51.92s = 8n = 25

t =

18.假设检验与置信区间困难

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 15。求最小样本量 n。

σ = 15E = 2.590%

n =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 车龄（年）和 y = 价格 (k€)。求最小二乘直线的决定系数 r²。

n = 5

r² =

20.线性回归与相关困难

表中给出 6 对观测值 x = 学习小时数和 y = 考试成绩。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。新得到一个观测值 (9, 94)。求其残差 e = y − ŷ。

n = 6(9, 94)

e =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 14321 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·7 = 28

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.397 = €14 321.08

答案

PV = €14 321.08

2.货币的时间价值

答案: N = 76 次还款

将年金公式变形

i = 0.0045

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.0045/125 = 0.712

用对数求解

N = −ln(0.712)/ln(1.004) = 75.65

向上取整到整次还款

75 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 76

答案

N = 76 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −9736 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 9 000/1.05 = 8 571.43

CF₂/(1 + 0.05)² = 18 000/1.103 = 16 326.53

CF₃/(1 + 0.05)³ = 12 000/1.158 = 10 366.05

相加

NPV = €−9 735.99

答案

NPV = €−9 735.99

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.6 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 2 118.06

NPV(25%) = −1 824.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·2 118.06/(2 118.06 − (−1 824.00)) = 22.69%

精确: NPV(22.6%) = 0 → IRR = 22.6%

答案

IRR = 22.6%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.003 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.07)⁻¹⁵ = €362.45

票息

C = (727 − 362.45)/9.108 = €40.03

票面利率

c = 40.03/1000 = 4.003%

答案

c = 4.003%

6.债券定价与收益率

答案: D = 3.81 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 30/1.08 = 27.78, t·PV = 27.78

t = 2: 30/1.166 = 25.72, t·PV = 51.44

t = 3: 30/1.26 = 23.81, t·PV = 71.44

t = 4: 1030/1.36 = 757.08, t·PV = 3 028.32

久期

P = 834.39

D = 3 178.99/834.39 = 3.81

答案

D = 3.81 年

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC 中的债务部分

0.2857·4.5%·(1 − 0.258) = 0.954%

股权成本

r_e = (8.81% − 0.954%)/0.7143 = 11%

答案

r_e = 11%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.8 %

市场价值

E = 4 000 000·€22.50 = €90 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.5·4% = 9.5%

权重

V = €100 500 000, E/V = 0.8955, D/V = 0.1045

WACC

WACC = 0.8955·9.5% + 0.1045·4%·(1 − 0.3) = 8.8%

答案

WACC = 8.8%

9.描述统计

答案: s = 14

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 245/7 = 35

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14² + (−13)² + 16² + 9² + (−13)² + (−17)² + 4² = 1176

标准差

s = √(1176/6) = 14

答案

s = 14

10.描述统计

答案: z = 1.25

标准化

z = (593.8 − 500)/75 = 1.25

答案

z = 1.25

11.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

12.概率

答案: P = 0.01094

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3⁶ = 0.000729

P(X = 1) = 6·0.7·0.3⁵ = 0.01021

相加

P = 0.000729 + 0.01021 = 0.01094

答案

P = 0.01094

13.正态分布

答案: z = 0.72

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.2358 = 0.7642

反向查 z 表

在表中找到 0.7642，读出 z。

z = 0.72

答案

z = 0.72

14.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

15.置信区间

答案: 下限 = 106.7

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 1.86

误差范围

E = 1.86·4.5/√9 = 2.79

区间

109.5 ± 2.79 → [106.7, 112.3]

答案

下限 = 106.7

16.置信区间

答案: n = 189

解出 n

n = (1.96·35/5)² = 188.2

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 189

答案

n = 189

17.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√25 = 8/5 = 1.6

检验统计量

t = (51.92 − 50)/1.6 = 1.2

答案

t = 1.2

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

18.假设检验与置信区间

答案: n = 98

解出 n

n = (1.645·15/2.5)² = 97.42

向上取整

n = 98

答案

n = 98

19.线性回归与相关

答案: r² = 0.6282

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 127/5 = 25.4

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 31.2

决定系数

r² = −14²/(10·31.2) = 0.6282

答案

r² = 0.6282

y 的变异中约有 62.82% 可由该直线解释。

20.线性回归与相关

答案: e = −2.448

均值

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 518/6 = 86.33

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 354

回归直线

b = 354/70 = 5.057

a = 86.33 − 5.057·7 = 50.93

ŷ = 50.93 + 5.057·x

预测值

ŷ = 50.93 + 5.057·9 = 96.45

残差

e = 94 − 96.45 = −2.448

答案

e = −2.448

该点位于直线下方。

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