CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

线性回归与相关

平方和: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
斜率: b = S_xy/S_xx
截距: a = ȳ − b·x̄
相关系数: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
残差: e = y − ŷ

2练习题

1.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 19 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 4%n = 19

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 11 年内每月月末存入 €300。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3003.6% / 12N = 132

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在 5 年内每年年末回报 €16 500。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 5%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 500CF₃ = 16 500CF₄ = 16 500CF₅ = 16 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €25 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €10 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €25 000CF = €10 500n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 4%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 4%n = 7

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 080。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 7P = €1 080

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.4。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 28%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.4D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.75T = 28%r_f = 3.5%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：43, 16, 49, 33, 56。

n = 5

s =

10.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 32 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 15x = 32

P =

11.概率中等

从 13 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 13k = 3

N =

12.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.3 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.3

P =

13.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量低于 465.2 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5< 465.2 kg

P =

14.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 90%

x = min

15.置信区间中等

一个包含 13 个个体的样本，均值为 111.5，标准差 s = 11.5。总体近似服从正态分布。求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 13x̄ = 111.5s = 11.590%t(12) = 1.782

下限 =

16.置信区间困难

总体标准差为 5。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 5E = 190%

n =

17.假设检验与置信区间中等

6 名员工在培训课程前后各参加一次打字测试。记录每人的差值 d = 培训后 − 培训前（每分钟字数）。平均差值为 −12.08，差值的标准差为 8。求 H₀: μ_d = 0 的配对检验统计量 t。

n = 6d̄ = −12.08s_d = 8

t =

18.假设检验与置信区间困难

36 次测量的样本均值为 502.2。总体标准差为 10。求均值 99% 置信区间的下限 L。

x̄ = 502.2σ = 10n = 3699%

L =

19.线性回归与相关中等

表中给出 5 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。求皮尔逊相关系数 r。

n = 5

r =

20.线性回归与相关困难

表中给出 5 对观测值 x = 广告支出 (k€) 和 y = 销售额 (k€)。使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。预测 x = 6 时的 ŷ。

n = 5x = 6

ŷ =

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 105072 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4746)/0.04 = 13.13

现值

PV = 8 000·13.13 = €105 071.52

答案

PV = €105 071.52

2.货币的时间价值

答案: FV = 48499 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·11 = 132

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.485 − 1)/0.003 = €48 498.87

答案

FV = €48 498.87

你自己存入了 €39 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.115 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 16 500/1.05 = 15 714.29 → Σ = 15 714.29

年份 2: 16 500/1.103 = 14 965.99 → Σ = 30 680.27

年份 3: 16 500/1.158 = 14 253.32 → Σ = 44 933.59

年份 4: 16 500/1.216 = 13 574.59 → Σ = 58 508.18

年份 5: 16 500/1.276 = 12 928.18 → Σ = 71 436.37

最后一年的分数

DPB = 4 + 1 491.82/12 928.18 = 4.115

答案

DPB = 4.115 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.636 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.51 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 25 000/10 500 = 2.381

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 12%: 2.402

i = 13%: 2.361

IRR = 12.51%

答案

IRR = 12.51%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1242 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.02, N = 14

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7579)/0.02 = €484.25

面值的现值

€1 000·0.7579 = €757.88

价格

P = €1 242.12

答案

P = €1 242.12

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.539 %

收益率方程

€1 080 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(6%) = €1 111.65, P(7%) = €1 053.89

YTM = 6.539%

答案

YTM = 6.539%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.4545, D/V = 0.5455

WACC

WACC = 0.4545·14% + 0.5455·4%·(1 − 0.25) = 8%

答案

WACC = 8%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 11.04 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.4/(1 + 0.72·0.2) = 1.224

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.224·(1 + 0.72·0.75) = 1.885

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.885·4% = 11.04%

答案

r_e = 11.04%

9.描述统计

答案: s = 15.57

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 197/5 = 39.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.6² + (−23.4)² + 9.6² + (−6.4)² + 16.6² = 969.2

标准差

s = √(969.2/4) = 15.57

答案

s = 15.57

10.描述统计

答案: P = 0.1151

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 0.1151

答案

P = 0.1151

11.概率

答案: N = 286

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(13, 3) = (13·12·11)/(3·2·1) = 286

答案

N = 286

12.概率

答案: P = 0.08503

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.7¹² = 0.01384

P(X = 1) = 12·0.3·0.7¹¹ = 0.07118

相加

P = 0.01384 + 0.07118 = 0.08503

答案

P = 0.08503

13.正态分布

答案: P = 0.9332

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26.83 kg

标准化

z = (465.2 − 425)/26.83 = 1.5

概率

P = Φ(1.5) = 0.9332

答案

P = 0.9332

14.正态分布

答案: x = 39.69 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min

答案

x = 39.69 min

15.置信区间

答案: 下限 = 105.8

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 12, t = 1.782

误差范围

E = 1.782·11.5/√13 = 5.684

区间

111.5 ± 5.684 → [105.8, 117.2]

答案

下限 = 105.8

16.置信区间

答案: n = 68

解出 n

n = (1.645·5/1)² = 67.65

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 68

答案

n = 68

17.假设检验与置信区间

答案: t = −3.699

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

平均差值的标准误

SE = 8/√6 = 3.266

检验统计量

t = −12.08/3.266 = −3.699

答案

t = −3.699

df = 5 时，双侧 5% 的临界值为 2.571；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

18.假设检验与置信区间

答案: L = 497.9

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 2.576·10/√36 = 4.293

区间端点

L = 502.2 − 4.293 = 497.9

答案

L = 497.9

19.线性回归与相关

答案: r = 0.9962

最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。

均值

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 115/5 = 23

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 582

答案

r = 0.9962

20.线性回归与相关

答案: ŷ = 53

均值

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 283/5 = 56.6

平方和与乘积和

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

回归直线

b = 144/40 = 3.6

a = 56.6 − 3.6·7 = 31.4

ŷ = 31.4 + 3.6·x

预测

ŷ = 31.4 + 3.6·6 = 53

答案

ŷ = 53

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