货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
CFA Level I 定量方法与固定收益练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
线性回归与相关
- 平方和
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 斜率
- b = Sxy/Sxx
- 截距
- a = ȳ − b·x̄
- 相关系数
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 残差
- e = y − ŷ
2练习题
1.货币的时间价值中等
一张信用卡的名义年利率为 21%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。
r = 21%m = 2
EAR = %
2.货币的时间价值困难
你以每年 4.8% 的利率借入 €20 000，按月复利，每月月末偿还 €400。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €20 000A = €4004.8% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €15 000, €12 000, €18 000, €12 000。资本成本为 5%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 5%CF0 = −50 000CF1 = 15 000CF2 = 12 000CF3 = 18 000CF4 = 12 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €40 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €23 000, €15 500, €8 000。项目 B 需投入 €50 000，回报为 €13 000, €19 000, €27 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −40 000, 23 000, 15 500, 8 000B: −50 000, 13 000, 19 000, 27 000
r* = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 4%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 4%n = 4
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）售价 €1 122。发行人可在 6 年后以 €1 080 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%P = €1 122赎回价格 = €1 080赎回时间 6 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 5%，税率为 25%。求 WACC。
D/E = 1re = 10%rd = 5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €54.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 1%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。
β = 1.5rf = 1%rm = 7.5%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：23, 39, 28, 31, 47。
n = 5
s =
10.描述统计困难
某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值高于 452 的比例 P 是多少？
μ = 500σ = 60x = 452
P =
11.概率中等
从 10 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。
n = 10k = 3
N =
12.概率困难
一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.15 赢得 €2，以概率 0.05 赢得 €10；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。
赌注 = €1€2: p = 0.15€10: p = 0.05
E(G) = €
13.正态分布中等
X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 200.4 mm 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 120, σX = 0.3μY = 80, σY = 0.4X + Y > 200.4 mm
P =
14.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
15.置信区间中等
一个包含 30 个个体的样本，均值为 90.5，标准差 s = 1.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。
n = 30x̄ = 90.5s = 1.599%t(29) = 2.756
上限 =
16.置信区间困难
10 根机加工轴的直径样本标准差为 6.3 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 9 时，χ² 分布有 2.5% 位于 2.7 以下，2.5% 位于 19.023 以上。
n = 10s = 6.3 µmχ² = 2.7, 19.023
σ = µm
17.假设检验与置信区间中等
比较两种教学方法。第 1 组：9 名学生，平均分 117.5，标准差 7。第 2 组：5 名学生，平均分 129.2，标准差 5.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。
n₁ = 9x̄₁ = 117.5s₁ = 7n₂ = 5x̄₂ = 129.2s₂ = 5.5
t =
18.假设检验与置信区间困难
49 次测量的样本均值为 500.6。总体标准差为 5。求均值 95% 置信区间的下限 L。
x̄ = 500.6σ = 5n = 4995%
L =
19.线性回归与相关中等
表中给出 6 对观测值 x = 温度 (°C) 和 y = 冰淇淋销量。 已给出它们的各项和。由这些和求皮尔逊相关系数 r。
n = 6Σx = 132Σy = 556Σx² = 2974Σy² = 53296Σxy = 12570
r =
20.线性回归与相关困难
表中给出 6 对观测值 x = 荷载 (kN) 和 y = 伸长量 (mm)。 使用最小二乘直线 ŷ = a + b·x。 新得到一个观测值 (9, 23)。求其残差 e = y − ŷ。
n = 6(9, 23)
e =
3溶液
1.货币的时间价值
答案: EAR = 22.1 %
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
每期利率
r/m = 0.21/2 = 0.105
复利一年
EAR = (1 + 0.105)2 − 1 = 1.221 − 1 = 22.1%
答案
EAR = 22.1%
当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。
2.货币的时间价值
答案: N = 56 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.004
(1 + i)−N = 1 − 20 000·0.004/400 = 0.8
用对数求解
N = −ln(0.8)/ln(1.004) = 55.9
向上取整到整次还款
55 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 56
答案
N = 56 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.94 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 15 000/1.05 = 14 285.71 → Σ = 14 285.71
年份 2: 12 000/1.103 = 10 884.35 → Σ = 25 170.07
年份 3: 18 000/1.158 = 15 549.08 → Σ = 40 719.14
年份 4: 12 000/1.216 = 9 872.43 → Σ = 50 591.57
最后一年的分数
DPB = 3 + 9 280.86/9 872.43 = 3.94
答案
DPB = 3.94 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.417 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: r* = 5.146 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −50 000 − (−40 000) = −10 000
ΔCF1 = 13 000 − 23 000 = −10 000
ΔCF2 = 19 000 − 15 500 = 3 500
ΔCF3 = 27 000 − 8 000 = 19 000
差额的 IRR
NPVΔ(5%) = 63.71
NPVΔ(6%) = −366.21
r* = 5.146%
答案
r* = 5.146%
校核：在 5.146% 时两个 NPV 都是 €2 776.48。
5.债券定价与收益率
答案: P = 963.4 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, i = 0.02, N = 8
票息的现值
€15.00·(1 − 0.8535)/0.02 = €109.88
面值的现值
€1 000·0.8535 = €853.49
价格
P = €963.37
答案
P = €963.37
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 6.602 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1122 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
数值求解
y = 6%: €1 154.74
y = 7%: €1 100.97
YTC = 6.602%
答案
YTC = 6.602%
到期收益率为 6.504%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.875 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 1) = 0.5
D/V = 1/(1 + 1) = 0.5
WACC
WACC = 0.5·10% + 0.5·5%·(1 − 0.25) = 6.875%
答案
WACC = 6.875%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.08 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€54.00 = €108 000 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
股权成本（CAPM）
re = 1% + 1.5·6.5% = 10.75%
权重
V = €118 500 000, E/V = 0.9114, D/V = 0.08861
WACC
WACC = 0.9114·10.75% + 0.08861·4%·(1 − 0.2) = 10.08%
答案
WACC = 10.08%
9.描述统计
答案: s = 9.476
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 168/5 = 33.6
离差平方
Σ(x − x̄)² = (−10.6)² + 5.4² + (−5.6)² + (−2.6)² + 13.4² = 359.2
标准差
s = √(359.2/4) = 9.476
答案
s = 9.476
10.描述统计
答案: P = 0.7881
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = −0.8
标准正态分布表
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
答案
P = 0.7881
11.概率
答案: N = 120
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
组合
C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120
答案
N = 120
12.概率
答案: E(G) = −0.2 €
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
净结果
G: 1 (p = 0.15), 9 (p = 0.05), −1 (p = 0.8)
期望值
E(G) = 1·0.15 + 9·0.05 − 1·0.8 = −0.2 €
答案
E(G) = −0.2 €
负值表示平均而言你会亏钱。
13.正态分布
答案: P = 0.2119
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
和的分布
μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm
标准化
z = (200.4 − 200)/0.5 = 0.8
上尾
P = 1 − Φ(0.8) = 1 − 0.7881 = 0.2119
答案
P = 0.2119
14.正态分布
答案: P = 0.8665
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.01803 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.01803 = −1.11
概率
P = 1 − Φ(−1.11) = 0.8665
答案
P = 0.8665
15.置信区间
答案: 上限 = 91.25
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 29, t = 2.756
误差范围
E = 2.756·1.5/√30 = 0.7548
区间
90.5 ± 0.7548 → [89.75, 91.25]
答案
上限 = 91.25
16.置信区间
答案: σ = 4.333 µm
方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。
平方和
(n − 1)s² = 9·6.3² = 357.2
σ² 的限值
357.2/19.023 = 18.78
357.2/2.7 = 132.3
σ 的限值
σ = √18.78 = 4.333 µm
答案
σ = 4.333 µm
σ 的 95% 区间：[4.333, 11.5] µm。
17.假设检验与置信区间
答案: t = −3.208
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
合并方差
sp² = (8·7² + 4·5.5²)/12 = 42.75
sp = 6.538
标准误
SE = 6.538·√(1/9 + 1/5) = 3.647
检验统计量
t = (117.5 − 129.2)/3.647 = −3.208
答案
t = −3.208
df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更大，所以拒绝 H₀。
18.假设检验与置信区间
答案: L = 499.2
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
误差范围
E = 1.96·5/√49 = 1.4
区间端点
L = 500.6 − 1.4 = 499.2
答案
L = 499.2
19.线性回归与相关
答案: r = 0.9593
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
中心化后的和
Sxy = 12570 − 132·556/6 = 338
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 53296 − 556²/6 = 1773
相关系数
r = 338/√(70·1773) = 0.9593
答案
r = 0.9593
20.线性回归与相关
答案: e = 1.786
最小二乘回归：设 x̄ 和 ȳ 为均值，Sxx = Σ(x − x̄)²，Syy = Σ(y − ȳ)²，Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)，则直线 ŷ = a + b·x 的斜率 b = Sxy/Sxx，截距 a = ȳ − b·x̄，因此它总是通过 (x̄, ȳ)。皮尔逊相关系数 r = Sxy/√(Sxx·Syy) 介于 −1 与 1 之间；r² 是 y 的变异中能被该直线解释的比例。
均值
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 99/6 = 16.5
平方和与乘积和
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 165
回归直线
b = 165/70 = 2.357
a = 16.5 − 2.357·7 = 0
ŷ = 0 + 2.357·x
预测值
ŷ = 0 + 2.357·9 = 21.21
残差
e = 23 − 21.21 = 1.786
答案
e = 1.786
该点位于直线上方。
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